2019-2020年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题同步练习 新人教B版必修5.doc

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2019-2020年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题同步练习 新人教B版必修5 一、选择题 1．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是(　　) A．10 n mile　　　　　　 B．10 n mile C．5 n mile　 D．5 n mile [答案]　D [解析]　如图，由正弦定理，得 ＝， ∴BC＝5. 2．某人向正东方向走x km后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　) A．　 B．2 C．2或　 D．3 [答案]　C [解析]　由题意画出三角形如图．则∠ABC＝30， 由余弦定理，得cos30＝，∴x＝2或. 3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．a km　 B．a km C．a km　 D．2a km [答案]　B [解析]　∠ACB＝120，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a(km)． 4．(xx三亚高二检测)有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延伸(　　) A．5 m　 B．10 m C．10 m　 D．10 m [答案]　C [解析]　如图，在△ABC中，由正弦定理，得 ＝，∴x＝10 m. 5．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距(　　) A．10 m　 B．100 m C．20 m　 D．30 m [答案]　D [解析]　设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45，∠CAD＝60，∠BDC＝30，AD＝30.分别在Rt△ADB、Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DBDCcos30，解得BC＝30. 6．(xx南昌模拟)当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　A [解析]　连接BC．在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2ABACcos120＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sinθ＝. 二、填空题 7．两船同时从A港出发，甲船以每小时20 n mile的速度向北偏东80的方向航行，乙船以每小时12 n mile的速度向北偏西40方向航行，一小时后，两船相距________ n mile. [答案]　28 [解析]　如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12， ∠CAB＝40＋80＝120， 由余弦定理，得BC2＝202＋122－22012cos120＝784， ∴BC＝28(n mile)． 8．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km) [答案]　5.2 [解析]　作出示意图如图．由题意知， 则AB＝24＝6， ∠ASB＝35，由正弦定理，得＝， 可得BS≈5.2(km)． 三、解答题 9.如图，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 n mile，问乙船每小时航行多少n mile? [解析]　解法一：如图，连接A1B2，由已知， A2B2＝10，A1A2＝30＝10， ∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180－120＝60， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10. 由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105－60＝45， 由△A1B2B1中，由余弦定理，得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos45 ＝202＋(10)2－22010＝200. ∴B1B2＝10. 因此乙船的速度的大小为60＝30(n mile/h)． 答：乙船每小时航行30 n mile. 解法二：如图，连结A2B1. 由已知，A1B1＝20， A1A2＝30＝10，∠B1A1A2＝105， cos105＝cos(45＋60) ＝cos45cos60－sin45sin60＝. sin105＝sin(45＋60) ＝sin45cos60＋cos45sin60＝. 在△A2A1B1中，由余弦定理，得 A2B＝A1B＋A1A－2A1B1A1A2cos105 ＝(10)2＋202－21020 ＝100(4＋2)． ∴A2B1＝10(1＋)． 由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝sin∠B1A1A2 ＝＝， ∴∠A1A2B1＝45，即∠B1A2B2＝60－45＝15， cos15＝sin105＝. 在△B1A2B2中，由已知，A2B2＝10， 由余弦定理，得B1B＝A2B＋A2B－2A2B1A2B2cos15 ＝102(1＋)2＋(10)2－210(1＋)10＝200. ∴B1B2＝10， 乙船速度的大小为60＝30 n mile/h， 答：乙船每小时航行30 n mile. 一、选择题 1．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　) A．20(＋) n mile/h B．20(－) n mile/h C．20(＋) n mile/h D．20(－) n mile/h [答案]　B [解析]　由题意可知∠NMS＝45，∠MNS＝105， 则∠MSN＝180－105－45＝30.而MS＝20， 在△MNS中，由正弦定理，得＝， ∴MN＝＝ ＝ ＝＝10(－)． ∴货轮的速度为10(－) ＝20(－)(n mile/h)． 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时(　　) A．5 n mile　 B．5 n mile C．10 n mile　 D．10 n mile [答案]　C [解析]　如图，依题意有∠BAC＝60，∠BAD＝75， ∴∠CAD＝∠CDA＝15，从而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，求得AB＝5， ∴这艘船的速度是＝10(n mile/h)． 二、填空题 3．甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北航行，AB＝10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________． [答案]　 min [解析]　如图，当两船航行t h时，甲船到D处，乙船到C处，则AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120，若AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝60， 所以CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－26t(10－4t)(－)＝28t2－20t＋100， ∴当t＝h时，CD2最小，即两船最近，t＝h＝ min. 4．已知船在A处测得它的南偏东30的海面上有一灯塔C，船以每小时30 n mile的速度向东南方向航行半小时后到达B点，于B处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________ n mile. [答案]　 [解析]　如图，∠CAB＝45－30＝15， ∠ACB＝180－60＝120，AB＝30＝15， ∴BC＝＝. ∵sin15＝sin(45－30) ＝sin45cos30－cos45sin30＝， ∴BC＝(－1)(n mile)． 三、解答题 5．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45，∠ADC＝75，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30，∠BDC＝15.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号) [解析]　由于∠ADC＝75，∠BDC＝15，∴∠ADB为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD为直角三角形作为突破口可简化计算． 在△ACD中，∠CAD＝60，AD＝＝CD． 在△BCD中，∠CBD＝135，BD＝＝CD， ∠ADB＝90. 在Rt△ABD中，AB＝＝CD ＝1 000(m)． 答：炮兵阵地到目标的距离为1000米． 6．如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75东．船行8 n mile后，望见这岛在北60东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险． [解析]　在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90＋60＝150，∠CAB＝90－75＝15，∴∠ABC＝15. ∴△ABC为等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30，BC＝8，∴BD＝BCsin30＝4>3.8.故该船没有触礁危险． 7.碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 n mile的B处．现在“白云号”以每小时10 n mile的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile的速度由A处向南偏西60方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近． [解析]　如右图，设经过t h，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD．则根据题意，知在△ACD中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60.由余弦定理，得 CD2＝AC2＋AD2－2ACADcos60 ＝(8t)2＋(20－10t)2－28t(20－10t)cos60 ＝244t2－560t＋400＝244(t－)2＋400－244()2， ∴当t＝时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近． 答：经过 h后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．