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2019-2020年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题练习新人教A版选修
一、选择题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( A )
[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A．
2．(xx广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为( C )
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
[解析] 依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0
0；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．
3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2()(04时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．
5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产( A )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
[解析] 设利润为y(万元)，则
y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，
y′＝36x－6x2，
令y′>0，得06，
∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．
6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( C )
A． B．
C． D．2
[解析] 如图，设底面边长为x(x>0)，
则底面积S＝x2，∴h＝＝.
S表＝x3＋x22＝＋x2，
S′表＝x－，令S′表＝0得x＝，
因为S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
二、填空题
7．(xx山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__20__吨.
[解析] 设该公司一年内总共购买n次货物，
则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，
令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故x＝20时， f(x)最小．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为__3__.
[解析] 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋，
∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，
∴当R＝3时，S表最小．
三、解答题
9．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？
[解析] 设水箱底边长为x cm，
则水箱高为h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝60x2－(00；当3000)，L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，
∴x＝16必是最小值点．
∵x＝16，∴＝32.
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
4．(xx山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进行该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是( C )
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
[解析] y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8.当6≤t<8时，y′>0；当80；当0
x>60时，L′(x)<0
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)＝9 500元．
答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．
C级 能力提高
1．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2︰1，该长方体的最大体积是__3_m3__.
[解析] 设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x (00，y>0，
∴y＝2(00, f(x)为增函数；
当
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