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2019-2020年高二数学下学期第一次月考试题 理(I)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
2. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )
A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点
3. 不等式a＞b与＞同时成立的充要条件为( )
A．a＞b＞0 B．a＞0＞b
C. ＜＜0 D.＞＞0
4. 下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆
B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
5. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为( )
A．都是奇数 B．都是偶数
C．中至少有两个偶数 D．中至少有两个偶数或都是奇数
6. 4. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＜0 B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
7. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )．
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8. 函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为( )．
A．0 B. C. D.
9. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10. 函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )
11. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
12. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15 C．10 D．15
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
14. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
15. 已知，，试通过计算，，，的值，推测出＝___________.
16. 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）
17. （10分）（1）. 求函数的极值.
（2）.求由直线和曲线所围成的图形的面积.
18. （12分）用分析法证明：若a＞0，则－≥a＋－2.(12分)
19. （12分） 用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
20. （12分） 已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
21. （12分）设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
22. （12分） 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2.
(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程；
(2)若g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)证明：g(x)≥.
宁夏育才中学孔德学区xx-2高二年级月考
数学 试卷
(试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
[答案] B
2. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )
A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点
[答案] C
[解析] 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C.
3. 不等式a＞b与＞同时成立的充要条件为( )
A．a＞b＞0 B．a＞0＞b
C. ＜＜0 D.＞＞0
[答案] B
[解析] ⇔⇔⇔a＞0＞b，故选B.
4. 下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆
B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆的面积S=πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【答案】B
5. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为( )
A．都是奇数 B．都是偶数
C．中至少有两个偶数 D．中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】A
6. 4. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＜0 B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
答案 B
7. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )．
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，
所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－43(a＋6)＞0，
解得a＜－3或a＞6.
答案 B
8. 函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为( )．
A．0 B. C. D.
解析 y′＝e－x－xe－x＝－e－x(x－1)
y′与y随x变化情况如下：
x
0
(0,1)
1
(1,4)
4
y′
＋
0
－
y
0
当x＝0时，函数y＝xe－x取到最小值0.
答案 A
9. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 A
10. 函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )
【解析】选B.由图可得-1＜f′(x)＜1，则切线斜率k∈(-1，1).
11. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
答案 A
解析 方法一：因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)的图像与x轴相切于原点，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．因为函数f(x)的图像与x轴所围成区域的面积为，所以(－x3＋ax2)dx＝－，所以(－x4＋ax3)＝－，所以a＝－1或a＝1(舍去)，故选A.
方法二：因为f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)的图像与x轴相切于原点，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2.若a＝0，则f(x)＝－x3，与x轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图像，排除B；若a＝1，则f(x)＝－x3＋x2＝－x2(x－1)，与x轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图像，排除C；若a＝－2，则所围成的面积为－ (－x3－2x2)dx＝(x4＋x3) ＝≠，排除D.故选A.
12. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－34＋2a2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，
f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
答案：A
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 ∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝312－1＝2.
∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
14. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
答案：____14____
15. 已知，，试通过计算，，，的值，推测出＝___________.
答案：
16. 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________．
答案 [－2，－1]
解析 由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，
故－m＋n＝2. ①
又f′(x)＝3mx2＋2nx，则f′(－1)＝－3，
故3m－2n＝－3. ②
联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，
令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，
则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，
所以t∈[－2，－1]．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）
17. （10分）（1）. 求函数的极值.
（2）.求由直线和曲线所围成的图形的面积.
（1）解：.
令，即，解得，.
当变化时，，的变化情况如下表：
0
－
0
－
0
＋
/
极小值
因此，当时，有极小值，且.
（2）解：联立，得，.
所以，，故所求面积.
18. （12分） 用分析法证明：若a＞0，则－≥a＋－2.(12分)
证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋.
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（＋2）2≥（a＋＋）2，
只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2（a＋），
只需证≥（a＋），只需证a2＋≥（a2＋＋2），
即证a2＋≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.
19. （12分） 用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
20. （12分） 已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
答案 (1)a＝，b＝1 (2)单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)
解析 (1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，
所以f′(x)＝2ax＋.
又函数f(x)在x＝1处有极值，
所以即解得
(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．
21. （12分）设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
思路分析 先求导，通分后发现f′(x)的符号与a有关，应对a进行分类，依据方程的判别式来分类．
解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝，
x2＝.
当0＜x＜x1时，f′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；
当x＞x2时，f′(x)＞0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
(2)由(1)知，a＞2.
因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a.
又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a.
若存在a，使得k＝2－a，则＝1.
即ln x1－ln x2＝x1－x2.
由x1x2＝1得x2－－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)
再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．
故不存在a，使得k＝2－a.
22. （12分） 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2.
(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程；
(2)若g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)证明：g(x)≥.
答案 (1)y＝x－1 (2)a≥－2 (3)略
解析 (1)因为f′(x)＝，所以f′(1)＝1.
故切线方程为y＝x－1.
(2)g′(x)＝2(x－＋－a)，
令F(x)＝x－＋－a，则y＝F(x)在[1，＋∞)上单调递增．
F′(x)＝，则当x≥1时，x2－lnx＋a＋1≥0恒成立，
即当x≥1时，a≥－x2＋lnx－1恒成立．
令G(x)＝－x2＋lnx－1，则当x≥1时，G′(x)＝<0，
故G(x)＝－x2＋lnx－1在[1，＋∞)上单调递减．
从而G(x)max＝G(1)＝－2.
故a≥G(x)max＝－2.
(3)证明：g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2
＝2a2－2(x＋lnx)a＋x2＋ln2x，
令h(a)＝2a2－2(x＋lnx)a＋x2＋ln2x，则h(a)≥.
令Q(x)＝x－lnx，则Q′(x)＝1－＝，显然Q(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
则Q(x)min＝Q(1)＝1.
则g(x)＝h(a)≥.
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