2019-2020年高三数学上学期期中质量抽测试题.doc

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2019-2020 年高三数学上学期期中质量抽测试题 2.锥体的体积公式：其中 S 是锥体的底面积， h 是高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合则 ▲ ． 2.若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 ▲ ． 3．数据 10，6，8，5，6 的方差 ▲ ． 4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1， 2，3，4 的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率 是 ▲ ． 5．已知双曲线的一条渐近线方程为则 ▲ ． 6．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ． 7．底面边长为 2，侧棱长为的正四棱锥的体积为 ▲ . 8．在等比数列中，若则 ▲ 9．已知 则向量的夹角为 ▲ ),21(,,1ba ． 10.直线被圆截得的弦长为 2，则实数的值是 ▲ ． 11．将函数则不等式的解集为 ▲ ． 12．将函数的图象向左平移个单位，若所得图象过点，则的最小值为 ▲ ． 13．在中，角的平分线与边上的中线交于点，若 则的值为 ),,(RyxACBxO ▲ ． 14．已知函数为自然对数的底数） ，若存在实数，使得且则实数的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 14 分） 在锐角△中，角所对的边分别为且 （1） 求角的大小； （2） 若为的中点，求线段的长. 输出 S 结束 开始 第 6 题图 16. （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥中，与交于点且平面 平面为棱上一点. （1） 求证： （2） 若求证：平面 17.（本小题满分 14 分） 已知数列满足 ，且),(2*21 RkNnan （1） 若求数列的前项和 （2） 若求数列的通项公式 18. （本小题满分 16 分） 如图，墙上有一壁画，最高点离地面 4 米，最低点离地面 2 米，观察者从距离墙米，离地面 高米的处观赏该壁画，设观赏视角 （1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？ （2）若当变化时，求的取值范围. 第 16 题图 a 2 4 x A B C （第 18 题图） 19. （本小题满分 16 分） 如图，椭圆的上、下顶点分别为，右焦点为点在椭圆上，且 （1） 若点坐标为求椭圆的方程； （2） 延长交椭圆于点，若直线的斜率是直线的斜率的 2 倍，求椭圆的离心率； （3） 求证：存在椭圆，使直线平分线段 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 .,1cos)(2Raxxf （1） 求证：函数是偶函数； （2） 当求函数在上的最大值和最小值； （3） 若对于任意的实数恒有求实数的取值范围. 第 19 题图 徐州市 xx～xx 学年度高三第一学期期中质量抽测 数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】本题包括四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若 多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4—1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分） 如图，是⊙的直径，与⊙相切于点为线段上一点，连结分别交⊙于两点，连结并延长交于点 若 求线段的长.,3,,3GAEFB B.[选修 4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 向量，若求实数的值.,12,1BxA C.[选修 4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 已知直线的参数方程为 为参数） ，以坐标原点为极点，轴的非半轴为极轴建ty(2 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页包含填空题（第 1 题——第 14 题） 、解答题（第 15 题——第 20 题） ．本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后请将答题卡交回． 2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用 0．5 毫 米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚． 4．如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 第 21—A 图 立极坐标系，曲线的极坐标方程为若直线与曲线交于两点，求线段的长. 【选做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答 题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分 10 分） 已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有 2 名男生、3 名女生，乙组有 3 名男生、1 名 女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选 2 名成员参加某项活动 . （1） 求选出的 4 名选手中恰好有 1 名女生的选派方法数； （2） 记 X 为选出的 4 名选手的人数，求 X 的概率分布和数学期望. 23. （本小题满分 10 分） 已知抛物线过点，直线过点与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，连接. （1） 求抛物线标准方程； （2） 问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 徐州市 xx高三年级摸底考试 数学 I 参考答案及评分标准 一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置． （第 23 题图） 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．4 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二．解答题：本大题共 6 小题，15—17 每小题 14 分，18—20 每小题 16 分，共计 90 分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15． （1）由正弦定理，得， ……………………………2 分 因为 b＝4， ，所以， ……………………………4 分 又，所以． ………………………………6 分 （2）若 b＝4， c＝6，由余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A＝16＋36－224＝28， 所以 a＝． ………………………………8 分 又因为，所以，从而， …………………10 分 因为为的中点，所以＝＝． 在由余弦定理，得 ，22cosADBABD 即 ，所以， ．…………14 分2 736719A 16． （1）因为平面底面，平面底面， ， 平面，所以平面，又因为平面， 所以．……………………6 分 （2）因为，，与交于，所以， 又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．……………………14 分 17． （1）当时， ，即， 所以，数列是等差数列．……………………2 分 设数列公差为，则解得 ……………4 分 12,4.3ad 所以， ．…………6 分21()()48223n nS n （2）由题意， ，即，所以．……………8 分 又 ，所以，由，4316aa 得 ，211()()nn 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，……………………10 分 当时，有， 于是， ， ， … ， ， 叠加得， ，12((1)3(),2nann ≥ 所以 ，……………………13 分2)34≥ 又当时，也适合． 所以数列的通项公式为．…………………14 分 18． （1）当时，过作的垂线，垂足为， B a A C D 4θ 2 x （第 18 题图） 则，且， 由已知观察者离墙米，且， 则 ，…………2 分0.52.5tan,tanBCDAxx 所以， ()BCD ，22 . 2550.1.5.14xx≤ 当且仅当时，取“” ．…………………6 分 又因为在上单调增，所以，当观察者离墙米时，视角最大．…8 分 （2）由题意得， ，又，tan,tanaBCDACxx 所以 ，……………………10 分21ta()()42A 所以， 当时， ，所以， 即，解得或，……………………14 分 又因为，所以， 所以的取值范围为．……………………16 分 19． （1）因为点，所以， 又因为 AFOP， ， 所以， ，所以，……………………………………2 分 又点在椭圆上，所以， 解之得．故椭圆方程为．……………………………4 分 （2）由题意，直线 AF 的方程为，与椭圆方程 联立消去，得， 解得或，所以点的坐标为，……………7 分 所以直线的斜率为 ， 222()BQbcabck 由题意得， ，所以，………………9 分 所以椭圆的离心率．………………10 分 （3）因为线段 OP 垂直 AF，则直线 OP 的方程为， 与直线 AF 的方程联立，解得两直线交点的坐标()． 因为线段 OP 被直线 AF 平分，所以 P 点坐标为()，………………12 分 由点 P 在椭圆上，得， 又,设，得． (*)……………14 分 令 ，232()4[1)]14()1ftttt ，所以函数单调增，又， ，所以，在区间上有解，即(*)式方程有解， 故存在椭圆，使线段 OP 被直线 AF 垂直平分．…………………………16 分 20． （1）函数的定义域为 R， 因为 ，22()cos()1cos1()fxaxxafx 所以函数是偶函数． ……………………………………3 分 （2）当时， ，则， 令，则，所以是增函数， 又，所以，所以在[0，] 上是增函数， 又函数是偶函数， 故函数在[ ，] 上的最大值是 22 ，最小值为 0．…………………………8 分 （3） ， 令，则， ①当时， ，所以是增函数， 又，所以，所以在[0，+∞)上是增函数， 而，是偶函数， 故恒成立．………………………………………12 分 ②当时， ，所以是减函数， 又，所以，所以在(0，+∞)上是减函数， 而，是偶函数，所以，与矛盾，故舍去．………14 分 ③当时，必存在唯一(0 ，) ，使得， 因为在[0，] 上是增函数， 所以当 x(0 ， x0)时， ，即在(0， x0)上是减函数， 又，所以当 x(0 ， x0)时， ， ，即在(0， x0)上是减函数， 而，所以当 x(0 ， x0)时， ，与矛盾，故舍去． 综上，实数 a 的取值范围是[ ，+∞)． ………………………………………16 分 12 江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市 xx--xx学年度第一学期高三期中抽测数学试题 数学Ⅱ参考答案 及评分标准 21． 【选做题】 ． A．因为,所以,又因为， 则，又，所以， ， ……………………4 分 连结（，则， ， ， 所以，所以， 所以四点共圆． ……………………8 分 所以 2FBCEFDG ，所以， ． ………10 分 B． ， ， ……………………4 分 由得解得． ……………………10 分 C．由，可得 ρ 2＝2 ρ sin θ －2 ρ cos θ ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋ y2＝2 y－2 x， 标准方程为( x＋1) 2＋( y－1) 2＝2． 直线 l 的方程为化成普通方程为 x－ y＋1＝0． ……………………4 分 圆心到直线 l 的距离为， 所求弦长． ……………………10 分 D．要证，只需证， 只需证， ……………………6 分 而 0)1(1)()1( 2222 bababa ， 从而原不等式成立． ……………………10 分 22． （1）选 出 的 4 名 选 手 中 恰 好 有 一 名 女 生 的 选 派 方 法 数 为种．…3 分 （2）的可能取值为． ………………5 分 ， ， 23541(0)062CPX12135437()062CPX ， 213543() ． ………………8 分()(0)(1)(3)PXPX 的概率分布为： ． ………………10 分179317()0200EX 23． （1）将点代入抛物线 C 的方程得， ， 所以，抛物线 C 的标准方程为．……………………4 分 （2）设直线 l 的方程为，又设，则， 由 得，则 ， 21,4yxk21212160,4,kxxk 所以， 于是直线的方程为， ……………………8 分 所以， ， 2211()44xxyx 当时， ，所以直线过定点． ……………………10 分