2019届高三数学上学期入学试题 理科附答案四川成都石室中学

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2019届高三数学上学期入学试题 理科附答案四川成都石室中学 石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试 数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设 ，则 A． B． C． D． 2.设集合 ，若全集 ， ，则 A． B． C． D． 3.命题“ ， ”的否定是 A． ， B． ， C． ， D． ， 4.在如图的程序框图中，若输入 ，则输出的 的值是 A．3 B．7 C．11 D．33 5.在区间[0，2]上随机取一个数x，使 的概率为 A． B． C． D． 6. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为 A. 2 B. C. 1 D. 7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn， 且 ，则 A． B． C． D． 8.已知函数 是定义域为 的奇函数， ，且当 时， ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 9．已知约束条件为 ，若目标函数 取最大值时的最优解有无数多个,则 的值为 A. B. C. D. 或 10.已知抛物线 的一条弦 经过焦点 为坐标原点，点 在线段 上，且 ，点 在射线 上，且 ，过 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ,则 的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．10 11.向量 满足： ， ， 在 上的投影为4， ，则 的最大值是 A. 24 B. C. D. 12．已知函数 ，若关于 的不等式 有且只有一个正整数解，则实数 的最大值为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.若 的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为　 　． 14. 直线 过双曲线 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C的离心率为 ． 15.已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上，若 则球O的直径为 ． 16.函数 ，已知 在区间 恰有三个零点，则 的范围为 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分） 某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立. （Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率； （Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）． （Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望. 18.（本小题满分12分） 如图，在 中，内角 的对边分别为 ，已知 分别为线段 上的点，且 ， ． (I)求线段 的长； (II)求 的面积． 19.（本小题满分12分） 直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表： 男女 认为直播答题模式可持续360280 认为直播答题模式不可持续240120 (I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？ (II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率. 参考公式： ． 临界值表： 0.100.050.0250.0100.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.828 20.（本小题满分12分） 如图 为坐标原点，圆 点 ，以线段 为直径的圆 内切于圆O，切点为P，记点M的轨迹为曲线C. （I）证明： 为定值，并求曲线C的方程； （II）设Q为曲线C上的一个动点，且Q在 轴的上方，过 作直线 ，记 与曲线C的上半部分交于 点，求四边形 面积的取值范围. 21.（本小题满分12分） 已知函数 ， ，其中 . （I）若 ，讨论 的单调区间； （II）若 的两根为 ，且 ，证明： . （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 ，曲线 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （I）求曲线 的极坐标方程； （II）射线 分别交 于 两点，求 的最大值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数 ． （I）解不等式 ； （II）设函数 的最小值为c，实数a，b满足 ，求证： ． 石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试 数学参考答案（理科） 1-5：CBBCA 6-10：ADDBA 11-12：CA 13、-20 14、 15、13 16、 17解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率 网店盈利的概率 由实体店和网店销售量相互独立， 故任取一天,实体店和网店都盈利的概率 .…………3分 （Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于 的直方图面积为 ， 销售量低于 的直方图面积为 故网店销售量的中位数的估计值为 （件）…………6分 （Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率 ……7分 故 , 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为 , , , , 分布列为 0123 …………11分 因为 ,所以期望为 .…………12分 18.解：（1）根据题意， ， ， ，则 ； 又由 ， 解可得 即 ，则 ， 在 中， 由余弦定理得： ， 则 ；…………………（6分） （2）根据题意， 平分 ， 则 ， 变形可得： ， ，则 ， 　…………………（12分） 19、解析：（I）依题意， 的观测值 ， 故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分 （Ⅱ）由题意 的取值为 ，且后四个题每个题答对的概率为 .………………6分 ； . 故 的分布列为 101112 …………………………………………9分 记该网友当期可平分奖金为事件 ，则 . 故该网友当期可平分奖金的概率为 . ………………………12分 20、解：（1）由题知：O，P，N三点共线，连 则 ， 所以点M的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，其中， ， ， ， 则动点M的轨迹方程是 ．……………………………………4分 （2）如图： ………………………………6分 因为 不与y轴垂直，设PR： ， 所以 消去x有： 由弦长公式可得： 又因为点 到直线 的距离 所以S＝ ……………10分 因为 ，所以 （当 等号成立） 所以 ……………………12分 21、解:（Ⅰ）由已知得 ， 所以 ，……………2分 当 时， ； 当 时， ．……………3分 故若 ， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 若 ， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．……………5分 （Ⅱ）依题意 ， ， 同理， 由①-②得， ，……………7分 ， ，……………8分 要证 ，即证： ， 即证： ，……………9分 令 ，即证 ． ，……………10分 在区间 上单调递增， 成立．故原命题得证．……………12分 22. 解：（1） 因为 ， ， ， 所以 的极坐标方程为 ， 因为 的普通方程为 ， 即 ，对应极坐标方程为 ．……………………5分 （2）因为射线 ，则 ， 则 ，所以 ＝ 又 ， ， 所以当 ，即 时， 取得最大值 ……10分 23、解：①当 时，不等式可化为 ， ． 又∵ ，∴ ∅； ②当 时，不等式可化为 ， ． 又∵ ，∴ ． ③当 时，不等式可化为 ， ． 又∵ ，∴ ． 综上所得， ． ∴原不等式的解集为 ．…………………（5分） （Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得， ， ∴ ，即 ． 令 ， ，则 ， ， ， ， ， 原不等式得证．…………………（10分）