2019高考数学专题训练 圆锥曲线中的综合问题 含解析
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2019高考数学专题训练 圆锥曲线中的综合问题 含解析 专题限时集训(十) 圆锥曲线中的综合问题 (建议用时：60分钟) 1．(2018•北京模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点1，22. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数．若直线l2与椭圆交于E，F两点且均不与点A，B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为θ1，直线BF与x轴所成的锐角为θ2，判断θ1与θ2的大小关系并加以证明． [解] (1)由题可得ca＝22，1a2＋222b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2b＝1c＝1. 所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1. (2)结论：θ1＝θ2，理由如下： 由题知直线l1斜率存在， 设l1：y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立y＝k(x＋1)x2＋2y2＝2， 消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 由题易知Δ＞0恒成立， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2， 因为l2与l1斜率相反且过原点， 设l2：y＝－kx，E(x3，y3)，F(x4，y4)， 联立y＝－kxx2＋2y2＝2 消去y得(1＋2k2)x2－2＝0， 由题易知Δ＞0恒成立， 由根与系数的关系得x3＋x4＝0，x3x4＝－21＋2k2， 因为E，F两点不与A，B重合， 所以直线AE，BF存在斜率kAE，kBF， 则kAE＋kBF ＝k•(x1＋x3＋1)(x2＋x3)＋(x2－x3＋1)(x1－x3)(x1－x3)(x2＋x3) ＝k•2x1x2＋2x23＋x1＋x2(x1－x3)(x2＋x3) ＝k•2(2k2－2)1＋2k2＋221＋2k2＋－4k21＋2k2(x1－x3)(x2＋x3)＝0， 所以直线AE，BF的倾斜角互补，所以θ1＝θ2. 2．(2018•枣庄模拟)已知抛物线C：y2＝2px(0
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