2019-2020年高考数学 专题8.3 空间角与综合问题试题 理.doc

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2019-2020年高考数学 专题8.3 空间角与综合问题试题 理 【三年高考】 1. 【xx课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【xx浙江，9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则 A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α 【答案】B 【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此，所以选B． 3. 【xx课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角； ②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角； ③直线AB与a所成角的最小值为45； ④直线AB与a所成角的最小值为60. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【解析】由题意， 是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由 ，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作 ，交底面圆 于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD， ，连结AD，等腰△ABD中， ,当直线AB与a成60角时， ，故 ，又在 中， ，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知 , 为等边三角形， ，即AB与b成60角，②正确，①错误. 由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线 与 所成的最大角为90，④错误.正确的说法为②③. 4．【xx课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且. （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. （2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则， 所以二面角的余弦值为. 5．【xx天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长. 【解析】如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）. （Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量， 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得. 因为平面BDE，所以MN//平面BDE. （Ⅱ）易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值为. （Ⅲ）依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或. 所以，线段AH的长为或. 6．【xx高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,选A. 7. 【xx高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【解析】（I）由已知得，，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.所以，.于是，，故.又，而，所以. （II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是. 8. 【xx年高考北京理数】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）因为平面平面，，所以平面，所以，又因为，所以平面； （3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时. 9. 【xx高考上海理数】将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。 （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的大小。 【解析】（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．由的长为，可知．，． （2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为直线与所成的角．由长为，可知，又，所以，从而为等边三角形，得．因为平面，所以．在中，因为，，，所以，从而直线与所成的角的大小为． 10. 【xx高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】设，设，则由题意，在空间图形中，设，在中，，在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，，过作，连结，∴，则就是二面角的平面角，∴，在中，，，同理，，，故，显然面，故，在中，，在中，，∵，，∴（当时取等号），∵，，而在上为递减函数，∴，故选B. 11. 【xx高考新课标2，理19】如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． D D1 C1 A1 E F A B C B1 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图： （Ⅱ）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是，所以．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为． 12. 【xx高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 【解析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. 【xx考试大纲】 空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量. (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. (3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 高考对立体几何的考查，可以发现均以规则几何体为背景，这样建立空间直角坐标系较为容易，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 【xx年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出 ,空间向量的坐标及运算，空间向量的应用，重点考查空间向量的应用求夹角、求距离.课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度，题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查，但有时选择题、填空题也涉及，难度中等偏高，从高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．立体几何题型一般是一个解答题，1至2个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力，近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题.预测xx年高考，仍然以规则几何体为几何背景，第一问以线面垂直，面面垂直为主要考查点，第二问可能给出一个角，计算角的问题，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；也有可能求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法，有可能求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．复习建议：空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0＜θ≤90，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0≤θ≤90，其解法是作垂线、找射影；二面角0≤θ≤180.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变. 【xx年高考考点定位】 对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题． 【考点1】空间向量 【备考知识梳理】 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移. 2．向量运算和运算率 ，， 加法交换律：加法结合律：数乘分配律： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.平行于记作∥. 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义. 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝ 注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数.②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）. ⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量 ⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ① 其中向量叫做直线l的方向向量 在l上取，则①式可化为 ② 当时，点P是线段AB的中点，则 ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式. 4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥.注意：向量∥与直线a∥的联系与区别. 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量 共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使① 注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面. 推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使 ④ 或对空间任一定点O，有⑤ 在平面MAB内，点P对应的实数对（）是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件 5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线.与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是. 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使 6．数量积 （1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作 说明：⑴规定0≤≤,因而=； ⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥； ⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同， 图（3）中∠AOB=， 图（4）中∠AOB=, 从而有==. （2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模. （3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作.即=， 向量: （4）性质与运算率 ⑴，⑵⊥=0，⑶ （4），（5）=，（6） 7．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设，，则①； ②；③. (2)共线与垂直的坐标表示 设，， 则， (均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式 设，，则，. 设，则. 【规律方法技巧】 1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 3. 立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：是空间一直线，是直线上任意两点，则称为直线的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为. 4.易错点：（1）共线向量定理中∥⇔存在实数使＝易忽视≠0.（3）共面向量定理中，注意有序实数对()是唯一存在的．（3）一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量． 5.如何建立适当的坐标系：根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当，合理，即能够容易确定点的坐标，需要总结一些建系方法.常见建系方法： （1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴，如正方体，长方体等规则几何体，一般选择三条线为三个坐标轴，如图1、2； （2）借助面面垂直的性质定理建系，若题目中出现侧面和底面垂线的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z轴，如图3； （3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥，利用定点在底面的射影为底面的中心，可确定z轴，然后在底面确定互相垂直的直线分别为x，y轴.如图4. 【考点针对训练】 1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可作出示意图，以平面为投影面，则得到主视图可以为A选项所示 2. 有以下命题：①如果向量、与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么、的关系是不共线；②为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量，，是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底．其中正确的命题是(　　) A．①②　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解析】　对于①，“如果向量、与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么、的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确． 【考点2】空间角，距离的求法 【备考知识梳理】 1．空间的角 (1)异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线，经过空间任一点作直线.则把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角．直线与平面所成角的范围是. (3)二面角的平面角 如图在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角．二面角的范围是 (4)等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 2．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线和的方向向量分别为和，则与的夹角满足. (2)设直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线与平面的夹角满足. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①，是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． (ⅱ)如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足或． 3.空间距离: （1）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝（“”符号由实际情况选定）求距离. （2）点到平面的距离 点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法 （3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； （4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是.求线面角方法: ①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足, 在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解. ③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. ④万能方法，空间向量求解不用找角 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角,向量与的夹角，则. 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有； （3）确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)； c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范围，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法: ①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②射影面积法.利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. ③空间向量法:法一: 是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 法二：设,是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角的平面角或. 2. 求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下： （1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形. （2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法. （3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线AA′的长度为d ，在a 上有线段A′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝（“”符号由实际情况选定） 3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点： ①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置. ②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理. ③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种： 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面.作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“＝ ”求二面角否则要适当扣分. ④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法. ⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离. 【考点针对训练】 1. 【陕西省西安市长安区xx届高三4月模拟】如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，取的中点，连接，依题意得， ，所以为异面直线与所成角，因为，所以，故选C. 2. 【xx届上海市黄浦区高三4月高考模拟】如图，在直棱柱中，，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小及点到平面的距离． 【解析】（1）以A为坐标原点、AB为x轴、为y轴、为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知，故， 由，可知，即． （2）设是平面的一个法向量，又，故由解得 故． 设与平面所成角为，则，所以与平面所成角为，点到平面的距离为． 【考点3】空间向量的应用 【备考知识梳理】 1. 直线的方向向量：是空间一直线，是直线上任意两点，则称为直线的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 2. 如何确定平面的法向量 （1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法； （2）待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1，再求另两个坐标.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设由解方程组求得. 【规律方法技巧】 1.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线和的方向向量分别为和，则∥ (或与重合)⇔ ∥. ②设直线的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则∥或⊂⇔存在两个实数，使. ③设直线的方向向量为，平面的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥. ④设平面和的法向量分别为，，则α∥β⇔∥. 2.用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1⊥l2⇔⊥⇔.＝0. ②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则⊥⇔∥ ③设平面和的法向量分别为和，则α⊥β⇔⊥⇔＝0. 3.用法向量球距离： （1）用法向量求异面直线间的距离：如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是 ； （2）用法向量求点到平面的距离 如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A到平面α的距离为； （3）用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题 （4）用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题. 4. 用法向量求角 （1）用法向量求二面角 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角. （2）法向量求直线与平面所成的角 要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者. 5.利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化． 6.易误警示：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 异面直线所成角范围是(0，90]，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线a，b所成角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|.解题过程是：(1)建系；(2)求点坐标；(3)表示向量；(4)计算． (1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系． (2)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系． 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 【考点针对训练】 1. 【湖南省长沙市xx届高三5月模拟】如图所示，四棱锥的底面是梯形，且, 平面， 是中点， ． （Ⅰ）求证： 平面； （Ⅱ）若， ，求直线与平面所成角的大小． 【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，如图所示．因为，所以．因为平面， 平面，所以．又因为，所以平面．因为点是中点，所以，且．又因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面． （Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，因为平面， 平面，所以，所以．因为，由（Ⅰ）知， 又因为，所以，所以所以为正三角形，所以，因为平面， 平面，所以．又因为，所以平面．故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．， ， ，所以， ， ，设平面的法向量， 则所以取，则，设与平面所成的角为，则，因为，所以，所以与平面所成角的大小为． 2. 【山东省淄博市xx届高三第二次模拟】如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设点在棱上，若二面角的余弦值为，试求的值. 【解析】（Ⅰ）证明：连接，设交于，因为是等腰直角三角形，所以，又，所以是和的中点已知，所以四边形是正方形则，又，所以平面，同理，所以平面 （Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，则：，，，，，设（），，由可得，则， 易知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则得，令得，，所以， 解得，所以 【考点4】立体几何综合问题 【备考知识梳理】 空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有： 1)以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 2)探索性问题中的平行与垂直问题. 3)折叠问题中的平行与垂直问题. 【规律方法技巧】 1. 证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行.线线平行是平行关系的根本.5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直． 2. 探索性问题:探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点． 3．折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，弄清哪些角度和长度变了，哪些没有变；哪些线共面，哪些线不共面，翻折后的线与原来的线有什么联系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直线. 尤其是隐含着的垂直关系． 4．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决.求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”. （1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置； （2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置； （3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题. 5. 向量为谋求解立体几何的探索性问题:空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题. 【考点针对训练】 1. 【福建省莆田xx届高三二模】 如图，在梯形中， ， ，四边形为矩形，且平面， . （1）求证： 平面； （2）点在线段（含端点）上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 【解析】 (I)在梯形中，∵，设，又∵,∴，∴∴∴. ∵， ，∴，而，∴ ∵ ∴. (II)由(I)可建立分别以直线， ， 为轴， 轴， 轴的如图所示建立空间直角坐标系， 设，令 (),则 (0，0，0)， (，0，0)， (0，1，0)， (，0，1)，∴=(-，1，0)， =( ，-1，1)， 设为平面的一个法向量，由得取,则=(1, , ), ∵=(1,0,0)是平面的一个法向量,∴ ∵,∴当时， 有最小值，∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为. 2. 【福建泉州xx年毕业班质量检查】 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形， ， ， ， 为的中点，点在线段上. (Ⅰ)求证： ； (Ⅱ)试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等. （Ⅱ）侧面底面， ，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，所以， ， ，设，则， ，所以，易得平面的法向量． 设平面的法向量为，由， ，得，令，得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，即，解得，所以． 【应试技巧点拨】 1．探索性问题 探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算. 2. 如何求线面角 （1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足 在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h！利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解. （3）妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. （4）万能方法，空间向量求解不用找角 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角,向量与的夹角，则. 3.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角； （2）射影面积法.利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 法二：设,是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补）， 则二面角的平面角 4.如何建立适当的坐标系 根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当，合理，即能够容易确定点的坐标，需要总结一些建系方法.常见建系方法： （1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴，如正方体，长方体等规则几何体，一般选择三条线为三个坐标轴，如图1、2； （2）借助面面垂直的性质定理建系，若题目中出现侧面和底面垂线的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z轴，如图3； （3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥，利用定点在底面的射影为底面的中心，可确定z轴，然后在底面确定互相垂直的直线分别为x，y轴.如图4. 5.如何确定平面的法向量 （1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法； （2）待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1，再求另两个坐标.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设由解方程组求得. 6. 向量为谋求解立体几何的探索性问题 空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题. 1. 【福建泉州xx年毕业班质量检查】在四面体中，若， ， ，则直线与所成角的余弦值为（　） A. B. C. D. 【答案】D 2. 【四川省成都市xx届高中第三次诊】在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，可补形成正方体如下图： 所以异面直线与所成角就是与所以角，而为直角三角形，所以所成角为，。选A. 3.【xx届湖南省郴州市高三第四次质检】如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成（平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ） A. 与平面垂直的直线必与直线垂直 B. 异面直线与所成角是定值 C. 一定存在某个位置，使 D. 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值 【答案】C 【解析】取CD的中点F，连BF,MF,如下图：可知面MBF//,所以A对。取中点G,可知，如下图，可知B对。点A关于直线DE的对为F,则面，即过O与DE垂直的直线在平面上。故C错。三棱锥外接球的球心即为O点，所以外接球半径为。故D对。选C 4. 【广西桂林市xx届高三适应性】正四面体中， 是棱的中点， 是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，设正四面体的棱长是1，则，高，设点在底面内的射影是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案B。 5. 【重庆市xx届高三高考适应】四棱锥的底面为平行四边形，且，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，则与所成的锐角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分别过顶点P作， ,则直线MP为平面PAD与平面PBC的交线，即为m, 直线NP为平面PAB与平面PDC的交线，即为n，所以AB与BC所成的角即为m与n所成的角，在中， ，所以m与n所成的锐角的余弦值为 ，选B. 6. 【河北省衡水中学xx届三摸】已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60，则四面体的体积为__________． 【答案】6 【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取 ,则 7. 【河北省xx届衡水中学押题卷III】如图所示，在棱长为2的正方体中， ， 分别是， 的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________． 【答案】 8. 【江苏省徐州市xx届高三信息卷】在三棱柱中， 平面， ， ， ，点在棱上，且．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）当时，求异面直线与的夹角的余弦值； （2）若二面角的平面角为，求的值． 【解析】（1）易知， ， ．因为， ，所以，当时， ．所以， ．所以， ．故异面直线与的夹角的余弦值为． （2）由可知， ，所以，由（1）知， ． 设平面的法向量为，则 即 令，解得， ，所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则 即 令，解得， ，所以平面的一个法向量为． 因为二面角的平面角为，所以，即，解得或（舍），故的值为． 9. 【辽宁省庄河市xx届高三四模】如图，四棱锥中，底面是矩形，平面 平面，且是边长为的等边三角形， ，点是的中点. （1）求证： 平面 ； （2）点 在 上，且满足 ，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】(1)连 交 于点， 连 ，因为四边形 是矩形，所以点是 的中点，又点 是 的中点， ，又 平面 平面 ，所以平面. (2)取 的中点，则 ，又平面 底面，平面 底面 ，故平面，连接 ，在 中， ，所以在 中， ，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则，设，则由 得 ，即，设平面的法向量 ，则 ，得 ，令 ，则 ，故 ，又 ，设直线与平面所成角为 ，则 ，故直线与平面所成角的正弦值为 . 10. 【浙江省嘉兴市xx届高三适应性考试】如图，在三棱锥中， 底面， ， ， ， 分别是， 的中点， 在上，且． （1）求证： 平面； （2）在线段上上是否存在点，使二面角 的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由， ，是的中点，得．因为底面，所以． 在中， ，所以．因此，又因为，所以，则，即． 因为底面，所以，又，所以底面，则．又，所以平面． （3）方法二：假设满足条件的点存在，并设．以为坐标原点，分别以， ， 为， ， 轴建立空间直线坐标系，则， ， ，．由得．所以， ， ． 设平面的法向量为，则，即，取，得， ，即．设平面的法向量为，则，即，取，得， ，即．由二面角的大小为，得，化简得，又，求得． 于是满足条件的点存在，且． 11. 【xx年湖南师大附中高三三模】如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ） A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．四边形EFGH可能为梯形 【答案】D 【解析】假设平面的法向量为，则有，又因为，所以，，且不是面的法向量，由，可知，，则，可见四边形是矩形，所以A，B，C选项都正确，正确的选项为D. 12. 【xx届河南省禹州市名校高三三模】在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设分别是等边三角形的外心，则画出图像如下图所示，由图象可知，,故， ,外接球体积为. 13. 【xx届山西省太原市高三下第三次模拟】在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是 ． 【答案】 【解析】建立如所示的坐标系,则,设,平面的法向量为,则,所以,即,令,则,所以.又因为平面,所以,即,也即,所以.由于是平面的一个法向量,且,所以,记与平面所成角为,则,所以,因为,所以. 14. 【xx届宁夏石嘴山三中高三下四模】如图，中，是的中点，，，将沿折起，使点到达点． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积最大时，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若