数学物理方法常微分方程的本征值问题.ppt

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1,一、Sturm – Liouville 型方程,它与一定的线性齐次边界条件或周期性条件 或自然边界条件可以构成本征值问题，称为 S-L型本征值问题。,2,二、几种常见的S-L型本征值问题,3,①,4,②,5,2、Bessel方程的本征值问题,6,3、Legendre 方程的本征值问题,7,这个本征值问题来自量子力学中的谐振子问题,4、Hermite 方程的本征值问题,8,这个本征值问题来自量子力学中的氢原子问题,5、Laguerre 方程的本征值问题,9,三、正交函数系,如果函数是复函数，则写为,2、归一化定义：,由正交定义，对一本征函数系,当 时，,当 时，,10,称为归一化因子。,则有,称 为正交归一函数系,11,3、完备性条件,4、完备性定义：在相应敬意上满足狄里赫利条件 的任意函数 可以用正交完备函数系展开成 傅里叶级数，即：,可用正交归一条件求得，即,12,狄里赫利条件： 在 上只有有限个第一类间 断点，且只有有限个极值点。,四、S—L型本征值问题的性质,13,2、性质,① 结论1：所有本征值都是实数，且非负，即,14,③ 结论3：对应于不同本征值的本征函数 ， 在区间 上带权函数 正交，即：,展开为绝对且一致收敛，即：,广义傅里叶级数。,③ 结论4：本征函数系在区间 构成一个完备 系，即任意一个具有二阶连续导数的函数 ， 只要它满足本征值问题中的边界条件，均可以用,15,16,17,,,18,,,19,,,