2015-2016学年驻马店市八年级下期中数学试卷含答案解析.doc

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2015-2016学年河南省驻马店市八年级（下）期中数学试卷 　 一、选择题 1．要使有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤ B．x≥ C．x≤ D．x≥ 2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．7，12，13 B．30，40，50 C．5，9，12 D．3，4，6 4．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（　　） A．14 B．16 C．20 D．18 6．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60，则花坛对角线AC的长等于（　　） A．6米 B．6米 C．3米 D．3米 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90 D．CE⊥DE 8．下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　 二、填空 9．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　　　　　． 10．当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是　　　　　　． 11．三角形周长为（7+2）cm，已知两边长分别为cm和cm，则第三边的长是　　　　　　cm． 12．已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D=　　　　　　． 13．如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=　　　　　　． 14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　　　　　　． 15．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH为a，BH为b，则ab=　　　　　　． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，4），点P是线段BC上的动点，当△OPA是等腰三角形时，则P点的坐标是　　　　　　． 　 三、解答（本大题共8个小题，满分67分） 17．计算： （1）（10﹣6+4） （2）（﹣）（﹣） 18．已知x=+，y=﹣，求代数式x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值． 19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90，∠BAD=135，AB=1，AC=，点E为CD中点．求证：CD=2AE． 20．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 21．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB． 22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N． （1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由； （2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长． 23．【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 （1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：　　　　　　； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE=AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 　  2015-2016学年河南省驻马店市八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．要使有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤ B．x≥ C．x≤ D．x≥ 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零． 【解答】解：要使有意义，则4﹣5x≥0， 解得：x≤． 故选；A． 【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 　 2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式． 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误； C、被开方数含分母，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 　 3．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．7，12，13 B．30，40，50 C．5，9，12 D．3，4，6 【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】根据勾股定理的逆定理（看看两小边的平方和是否等于大边的平方）分别进行判断即可． 【解答】解：A、∵72+122≠132， ∴以7，12，13为边的三角形不是直角三角形，故本选项错误； B、∵302+402=502， ∴以30，40，50为边的三角形是直角三角形，故本选项正确； C、∵52+92≠122， ∴以5，9，12为边的三角形不是直角三角形，故本选项错误； D、∵32+42≠62， ∴以3，4，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项错误； 故选B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记知识点是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 　 4．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】勾股定理；三角形的面积． 【专题】计算题． 【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度． 【解答】解：如图，由勾股定理得 AC==． ∵BC2=AC•BD，即22=BD ∴BD=． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键． 　 5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（　　） A．14 B．16 C．20 D．18 【考点】平行四边形的性质． 【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，OB=OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE，由△CDE的周长得出BC+CD=6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，OB=OD， ∵OE⊥BD， ∴BE=DE， ∵△CDE的周长为10， ∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10， ∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=20； 故选C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 　 6．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60，则花坛对角线AC的长等于（　　） A．6米 B．6米 C．3米 D．3米 【考点】菱形的性质． 【专题】应用题． 【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=244=6（米）， ∵∠BAD=60， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米）， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA==3（米）， 则AC=2OA=6米， 故选A． 【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键． 　 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90 D．CE⊥DE 【考点】矩形的判定；平行四边形的性质． 【分析】先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵AD=DE， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴四边形BCED为平行四边形， A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确； C、∵∠ADB=90，∴∠EDB=90，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误． 故选B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形ABCD为平行四边形是解题的关键． 　 8．下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】命题与定理． 【分析】根据平行四边形的性质对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断；根据正方形的判定方法对③进行判断；根据菱形的判定方法对④进行判断． 【解答】解：平行四边形的对边相等，所以①正确； 对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误； 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以③错误； 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确． 故选B． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 　 二、填空 9．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　两个角相等三角形是等腰三角形　． 【考点】命题与定理． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”． 【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 　 10．当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是　1　． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】直接利用a的取值范围去掉绝对值和化简二次根式，进而求出答案． 【解答】解：∵1＜a＜2， +|1﹣a| =2﹣a+a﹣1 =1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 　 11．三角形周长为（7+2）cm，已知两边长分别为cm和cm，则第三边的长是　4　cm． 【考点】二次根式的加减法． 【分析】首先化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案． 【解答】解：∵三角形周长为（7+2）cm，两边长分别为cm和cm， ∴第三边的长是：（7+2）﹣﹣=7+2﹣3﹣2=4（cm）． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 　 12．已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D=　150　． 【考点】平行四边形的性质． 【分析】根据题意画出图形，再根据∠B=5∠A得出∠B的度数，进而得出∠D的度数． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B=180，∠D=∠B， ∵∠B=5∠A， ∴6∠A=180，解得∠A=30， ∴∠D=∠B=305=150． 故答案为：150． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边互相平行，两组内角分别相等是解答此题的关键． 　 13．如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=　2　． 【考点】三角形中位线定理． 【分析】由题意可知EF是△ADC的中位线，由此可求出AD的长，再根据中线的定义即可求出BD的长． 【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EF=AD， ∵EF=1， ∴AD=2， ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD=2， 故答案为：2． 【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 　 14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　45　． 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质． 【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90． ∵等边三角形ADE， ∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60． ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90+60=150， AB=AE， ∠AEB=∠ABE=（180﹣∠BAE）2=15， ∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60﹣15=45， 故答案为：45． 【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案． 　 15．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH为a，BH为b，则ab=　48　． 【考点】勾股定理的证明． 【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可． 【解答】解：∵AB=10，EF=2， ∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AH为a，BH为b，即4ab=96， ∴2ab=96，a2+b2=100， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196， ∴a+b=14， ∵a﹣b=2， 解得：a=8，b=6， ∴AH=8，BH=6， ∴ab=68=48． 故答案为：48． 【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值． 　 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，4），点P是线段BC上的动点，当△OPA是等腰三角形时，则P点的坐标是　（3，4）或（2，4）或（6﹣2，4）　． 【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定． 【分析】由矩形的性质得出BC=OA=6，AB=OC=4，∠B=∠OCB=90，分三种情况：①当PO=PA时；②当AP=AO=6时；③当OP=OA=6时；分别求出PC的长，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴BC=OA=6，AB=OC=4，∠B=∠OCB=90， 分三种情况：如图所示： ①当PO=PA时，P在OA的垂直平分线上，P是BC的中点，PC=3， ∴点P的坐标为（3，4）； ②当AP=AO=6时，BP==2， ∴PC=6﹣2， ∴P（6﹣2，4）； ③当OP=OA=6时，PC==2， ∴P（2，4）． 综上所述：点P的坐标为（3，4）或（2，4）或（6﹣2，4）． 故答案为：（3，4）或（2，4）或（6﹣2，4）． 【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键． 　 三、解答（本大题共8个小题，满分67分） 17．计算： （1）（10﹣6+4） （2）（﹣）（﹣） 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】（1）先对括号内的式子化简，再根据二次根式的除法进行计算即可解答本题； （2）根据二次根式的乘除法进行计算即可解答本题． 【解答】解：（1）（10﹣6+4） = = =15； （2）（﹣）（﹣） = = =． 【点评】本题考查考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 　 18．已知x=+，y=﹣，求代数式x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值． 【考点】二次根式的化简求值． 【分析】首先把x2+y2﹣xy﹣2x+2y化为x2﹣2xy+y2+xy﹣2x+2y=（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y），在代入数值计算即可． 【解答】解：∵x=+，y=﹣， ∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y =x2﹣2xy+y2+xy﹣2x+2y =（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y） =8+1﹣4 =9﹣4． 【点评】此题主要二次根式的化简求值，主要利用完全平方公式把整式整理，再进一步代入计算． 　 19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90，∠BAD=135，AB=1，AC=，点E为CD中点．求证：CD=2AE． 【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线． 【专题】证明题． 【分析】首先利用已知条件和勾股定理可证明BC=AB，进而可得∠BCA=∠BAC=45，再根据已知条件可得∠CAD=135﹣45=90，所以三角形CAD是直角三角形，利用在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可证明CD=2AE． 【解答】证明：Rt△ABC中，∠ABC=90， AB=1，AC= ∴BC2=（）2﹣12=1， ∴BC=AB， ∴∠BCA=∠BAC=45， 又∵∠BAD=135， ∴∠CAD=135﹣45=90， 又∵AE为CD上中点， ∴AE为Rt△CAD斜边上中线，则CD=2AE． 【点评】本题考查了勾股定理的运用以及在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）的性质，解题的关键是证明△CAD是直角三角形． 　 20．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC， ∵DF∥BE， ∴∠DFA=∠BEC， ∴∠AEB=∠DFC， 在△AEB和△CFD中， ∴△AEB≌△CFD（ASA）， ∴AB=CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 　 21．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB． 【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理的逆定理；矩形的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 　 22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N． （1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由； （2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】计算题；矩形 菱形 正方形． 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，判断出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON． （2）首先根据四边形ABCD是菱形，判断出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，进而求出BO、BD的值是多少；然后根据DE∥AC，AD∥CE，判断出四边形ACED是平行四边形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周长是多少． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AO=OC， ∴， ∴OM=ON． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6， ∴BO==2， ∴， ∵DE∥AC，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴DE=AC=8， ∴△BDE的周长是： BD+DE+BE =BD+AC+（BC+CE） =4+8+（6+6） =20 即△BDE的周长是20． 【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （2）此题还考查了三角形的周长的含义以及求法，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． 　 23．【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 （1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：　AM=AD+MC　； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可． （2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可． （3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立． 【解答】证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠ENC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠ENC=∠MAE． ∴MA=MN． 在△ADE和△NCE中， ∴△ADE≌△NCE（AAS）． ∴AD=NC． ∴MA=MN=NC+MC =AD+MC． （2）AM=DE+BM成立． 证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90，AB=AD，AB∥DC． ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90． ∴∠FAB=90﹣∠BAE=∠DAE． 在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△ADE（ASA）． ∴BF=DE，∠F=∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠FAB =∠FAM． ∴∠F=∠FAM． ∴AM=FM． ∴AM=FB+BM=DE+BM． （3）①结论AM=AD+MC仍然成立． 证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠EPC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠EPC=∠MAE． ∴MA=MP． 在△ADE和△PCE中， ∴△ADE≌△PCE（AAS）． ∴AD=PC． ∴MA=MP=PC+MC =AD+MC． ②结论AM=DE+BM不成立． 证明：假设AM=DE+BM成立． 过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90，AB∥DC． ∵AQ⊥AE， ∴∠QAE=90． ∴∠QAB=90﹣∠BAE=∠DAE． ∴∠Q=90﹣∠QAB =90﹣∠DAE =∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠QAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠QAB =∠QAM． ∴∠Q=∠QAM． ∴AM=QM． ∴AM=QB+BM． ∵AM=DE+BM， ∴QB=DE． 在△ABQ和△ADE中， ∴△ABQ≌△ADE（AAS）． ∴AB=AD． 与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立． ∴AM=DE+BM不成立． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键． 　 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE=AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可； （3）求出∠CDB=90，再根据正方形的判定推出即可． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90， ∵∠ACB=90， ∴∠ACB=∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE=AD； （2）解：四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD=BD， ∵CE=AD， ∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB=90，D为AB中点， ∴CD=BD， ∴▱四边形BECD是菱形； （3）当∠A=45时，四边形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90，∠A=45， ∴∠ABC=∠A=45， ∴AC=BC， ∵D为BA中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90， ∵四边形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即当∠A=45时，四边形BECD是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 　 第26页（共26页）