2019-2020年高三12月联考 数学理 含答案.doc

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2019-2020年高三12月联考 数学理 含答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1． 若集合，且，则集合可能是 A．　 B．　 C．　 D． 2． 复数在复平面上对应的点的坐标是 A． B． C． D． 3． 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是 A． B． C． D． 4． 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为）， 则该棱锥的体积是 A． B． C． D． 正视图 侧视图 5．设变量满足约束条件， 则目标函数的最大值为 A． B． C． D． 6．已知数列为等比数列，，，则的值为 A． B． C． D． 7． 已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知，且为第二象限角，则的值为 ． 10．已知向量．若为实数，∥，则的值为 ． 11．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 ． 12．若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ． 13． 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 ． （写出所有正确命题的编号）． ①； ②； ③ ； ④； ⑤ 14． 已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分分） 已知：在中, 、、分别为角、、所对的边，且角为锐角， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当，时，求及的长． 16．（本小题满分分） 已知：函数的部分图象如图所示． （Ⅰ）求 函 数的 解 析 式； （Ⅱ）在△中，角的 对 边 分 别 是，若 的 取 值 范 围． 17．（本小题满分分） 已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点． （Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）证明：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正弦值． 18．（本小题满分13分） 已知：数列的前项和为，且满足，． （Ⅰ）求：，的值； （Ⅱ）求：数列的通项公式； （Ⅲ）若数列的前项和为，且满足，求数列的 前项和． 19．（本小题满分14分） 已知：函数，其中． （Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围． 20．（本小题满分分） 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点． ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值． 参考答案 （以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分） 一、选择题 1． A 2． D 3． B 4． A 5． C 6． D 7． B 8． D 二、填空题 9． 10． 11． 12．（1，2）， 13．①③⑤ 14． 15．（本小题满分分） 解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及 所以sinC=． ………………………… 4分 （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos2C-1=，及得 cosC= ………………………9分 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2－b-12=0 …………………… 12分 解得 b=2 ……………………13分 16．（本小题满分分） 解：（Ⅰ）由图像知，的最小正周期，故 …… 2分 将点代入的解析式得，又 故 所以 ……………… 5分 （Ⅱ）由得 所以……………………8分 因为 所以 ………………9分 ……………………11分 ……………………13分 17．（本小题满分分） 解： （Ⅰ） 证明：连结BD交AC于点O，连结EO． ……………………1分 O为BD中点，E为PD中点， ∴EO//P B． ……………………2分 EO平面AEC，PB平面AEC， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C． （Ⅱ） 证明： PA⊥平面ABC D． 平面ABCD， ∴． ……………………4分 又在正方形ABCD中且， ……………………5分 ∴CD平面PA D． ……………………6分 又平面PCD， ∴平面平面． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空 间直角坐标系． ………8分 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为 A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） ． ……………9分 PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）． 设平面AEC的法向量为, , 则 即 ∴ ∴ 令,则． ………………11分 ∴, …………………12分 二面角的正弦值为 …………………13分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 令 ，解得；令，解得 ……………2分 （Ⅱ） 所以，（） 两式相减得 ……………4分 所以，（） ……………5分 又因为 所以数列是首项为，公比为的等比数列 ……………6分 所以，即通项公式 （） ……………7分 （Ⅲ），所以 所以 ……9分 令 ① ② ①－②得 ……………11分 ……………12分 所以 ……13分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：． 依题意，令，解得 ． 经检验，时，符合题意． ……4分 （Ⅱ）解：① 当时，． 故的单调增区间是；单调减区间是． …………………5分 ② 当时，令，得，或． 当时，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和． 当时，的单调减区间是． 当时，，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和． ③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是． 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是和； 当时，的减区间是； 当时，的增区间是；减区间是和． ……11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意． 当时，在的最大值是， 由，知不合题意． 当时，在单调递减， 可得在上的最大值是，符合题意． 所以，在上的最大值是时，的取值范围是． …………14分 20．（本题满分分） 解：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分 。解得，则椭圆方程为 ……………4分 （Ⅱ）（1）将代入中得 ……………………………………………………6分 ………………………………………… …………………7分 因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分 （2）由（1）知， 所以 ……………11分 ………………………………………12分