地矿双语学校2016年10月九年级上月考数学试卷含答案解析.doc

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2016-2017学年河南省洛阳市地矿双语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 　 一、选择题 1．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 3．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40，则∠AOC的度数为（　　） A．20 B．40 C．60 D．80 5．如图，在△ABC中，∠CAB=65，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．35 B．40 C．50 D．65 6．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5，若CD=6cm，则AB的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm 7．已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（　　） A．m＞0 B．m＞4 C．﹣4，﹣5 D．4，5 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题 9．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式　　． 10．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是　　． 11．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　　． 12．抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是　　． 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，PA=，PB=1，∠BPC=135．则PC=　　． 14．如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为　　． 15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有下列结论： ①abc＞0； ②b＞a+c； ③4a+2b+c＜0； ④a+b≥m（am+b）； ⑤2c＜3b． 其中正确的结论有　　（填序号）． 　 三、解答题（8道题，共75分） 16．解下列一元二次方程． （1）x2﹣5x+1=0； （2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）． 17．如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置． （1）旋转中心是点　　，点P旋转的度数是　　度； （2）连接PP′，△BPP′的形状是　　三角形； （3）若PA=2，PB=4，∠APB=135． ①求△BPP′的周长； ②求PC的长． 18．已知二次函数y=x2﹣4x+3． （1）该函数与x轴的交点坐标　　； （2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … … y … … （3）根据图象回答： ①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？ ②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？ 19．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO=∠BCD； （2）若EB=2cm，CD=8m，求⊙O的直径． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的一个根为1，则求方程的另一根． 21．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90后得到△A1OB1． （1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标； （2）在旋转过程中，点B经过的路径的长； （3）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积． 22．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元． （1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元； （2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； （2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； （3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标． 　  2016-2017学年河南省洛阳市地矿双语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 　 2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据抛物线的顶点式求得顶点坐标即可判断． 【解答】解：由y=﹣（x+2）2﹣5可知抛物线的顶点是（﹣2，﹣5）， 故选C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得顶点坐标是解题的关键． 　 3．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1， ∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0． ∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根． 故选D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义． 　 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40，则∠AOC的度数为（　　） A．20 B．40 C．60 D．80 【考点】圆周角定理． 【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40，根据圆周角定理，即可求得答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40， ∴∠AOC=2∠ABC=80． 故选：D． 【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 　 5．如图，在△ABC中，∠CAB=65，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．35 B．40 C．50 D．65 【考点】旋转的性质． 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答． 【解答】解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65， ∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180﹣2∠ACC′=180﹣265=50， ∴∠CAC′=∠BAB′=50． 故选C． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 　 6．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5，若CD=6cm，则AB的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm 【考点】圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理． 【专题】计算题． 【分析】连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算． 【解答】解：连结OA，如图， ∵∠ACD=22.5， ∴∠AOD=2∠ACD=45， ∵⊙O的直径CD垂直于弦AB， ∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形， ∴AE=OA， ∵CD=6， ∴OA=3， ∴AE=， ∴AB=2AE=3（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理． 　 7．已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（　　） A．m＞0 B．m＞4 C．﹣4，﹣5 D．4，5 【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-公式法；根的判别式． 【分析】方程有两个正整数根，说明根的判别式△=b2﹣4ac≥0，即m2﹣414≥0，由此可以求出m的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根， ∴△=b2﹣4ac≥0，即m2﹣414≥0， ∴m2≥16， 解得m≥4或m≤﹣4， ∵方程的根是x=， 又因为是两个正整数根，则m＜0 则m≤﹣4 故A、B、D一定错误． C，把m=﹣4和﹣5代入方程的根是x=，检验都满足条件． ∴m可能取的值为﹣4，﹣5． 故选C． 【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 正确确定m的范围，并进行正确的检验是解决本题的关键． 　 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况： ①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形； ②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD， ①当BM≤4时， ∵点P′与点P关于BD对称， ∴P′P⊥BD， ∴P′P∥AC， ∴△P′BP∽△CBA， ∴，即， ∴PP′=x， ∵OM=4﹣x， ∴△OPP′的面积y=PP′•OM=x（4﹣x）=﹣x2+3x； ∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）； ②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）； 综上所述：y与x之间的函数图象大致为． 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键． 　 二、填空题 9．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式　y=x2﹣1（答案不唯一）　． 【考点】二次函数的性质． 【专题】开放型． 【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可． 【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1． 故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要大于0． 　 10．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是　（2，﹣3）　． 【考点】关于原点对称的点的坐标． 【专题】计算题． 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案． 【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 　 11．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　20%　． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题． 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解． 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故25（1﹣x）2=16， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为20%． 【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1x），再经过第二次调整就是a（1x）（1x）=a（1x）2．增长用“+”，下降用“﹣”． 　 12．抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是　y=2（x﹣）2+　． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【解答】解：y=2x2+3x﹣1=2（x+）2﹣，其顶点坐标为（﹣，﹣）． 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的顶点坐标为（，），得到的抛物线的解析式是y=2（x﹣）2+． 故答案为：y=2（x﹣）2+． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 　 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，PA=，PB=1，∠BPC=135．则PC=　　． 【考点】旋转的性质；勾股定理． 【专题】计算题． 【分析】根据旋转的性质可以得到∠P′CA=∠PCB，进而可以得到∠P′CP=∠ACB=90，进而得到等腰直角三角形，求解即可． 【解答】解：∵△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的， ∴∠P′CA=∠PCB，CP′=CP， ∴∠P′CP=∠ACB=90， ∴△P′CP为等腰直角三角形， 可得出∠AP′B=90， ∵PA=，PB=1， ∴AP′=1， ∴PP′==2， ∴PC=， 故答案为． 【点评】本题考查了旋转的性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确的利用旋转的性质得到相等的量． 　 14．如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为　4　． 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】如图，作辅助线，首先求出BC的长度，进而求出DE、BE的长度；运用勾股定理求出BD的长度，进而求出AD的长度，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BC、BD、OD； ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB=90，由勾股定理得： BC2=AB2﹣AC2=100﹣36=64， BC=8；由题意得：∠CAD=∠BAD， ∴， ∴OD⊥BC，BE=CE==4； ∴OE==3，DE=5﹣3=2， 由勾股定理得：BD2=22+42=20； ∵AD2=102﹣20， ∴． 【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 　 15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有下列结论： ①abc＞0； ②b＞a+c； ③4a+2b+c＜0； ④a+b≥m（am+b）； ⑤2c＜3b． 其中正确的结论有　①②④⑤　（填序号）． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据图象得出a＜0，﹣ =1，c＞0，结合图象上的点和对称轴即可逐项判断． 【解答】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x=1， ∴﹣=1， ∴2a+b=0，b＞0 ∴abc＜0，∴①正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故②正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故③错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，开口向下，函数有最大值a+b+c， ∴当x=m（m≠1）时a+b≥m（am+b），故④正确； ∵a﹣b+c＜0， ∴二次函数图象的对称轴是直线x=1， ∴a=﹣b， ∴﹣3b+2c＜0， 即2c＜3b，故⑤正确． 故答案为①②④⑤． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 　 三、解答题（8道题，共75分） 16．解下列一元二次方程． （1）x2﹣5x+1=0； （2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法． 【专题】计算题． 【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解； （2）方程移项后，分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：（1）这里a=1，b=﹣5，c=1， ∵△=25﹣4=21， ∴x=； （2）方程变形得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0， 分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0， 解得：x1=2，x2=3． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 　 17．如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置． （1）旋转中心是点　B　，点P旋转的度数是　90　度； （2）连接PP′，△BPP′的形状是　等腰直角　三角形； （3）若PA=2，PB=4，∠APB=135． ①求△BPP′的周长； ②求PC的长． 【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质． 【分析】（1）根据旋转的定义解答； （2）根据旋转的性质可得BP=BP′，又旋转角为90，然后根据等腰直角三角形的定义判定； （3）①根据勾股定理列式求出PP′，然后根据三角形的周长公式列式进行计算即可得解； ②先根据旋转的性质求出∠BP′C=135，再求出∠PP′C=90，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）∵P是正方形ABCD内一点，△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置， ∴旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度； （2）根据旋转的性质BP=BP′， ∵旋转角为90， ∴△BPP′是等腰直角三角形； （3）①∵PB=4， ∴PP′===4， ∴△BPP′的周长=PB+P′B+PP′=4+4+4=8+4； ②∵∠BP′C=∠BPA=135， ∴∠PP′C=∠BP′C﹣∠BP′P=135﹣45=90， 在Rt△PP′C中，PC====6． 故答案为：（1）B；（2）等腰直角． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，正方形的性质，勾股定理的应用，难度不大，熟练掌握旋转的定义与性质是解题的关键． 　 18．已知二次函数y=x2﹣4x+3． （1）该函数与x轴的交点坐标　（1，0），（3，0）　； （2）在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … … y … … （3）根据图象回答： ①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？ ②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？ 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的性质． 【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标； （2）根据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图象即可； （3）①结合函数图象即可求出y＜0时，自变量x的取值范围；②根据函数图象写出y的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， 令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得x1=1，x2=3， 所以，与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）； 故答案为：（1，0），（3，0）； （2）如图所示； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 15 8 3 0 1 … （3）①当1＜x＜3时，y＜0； ②0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3． 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键． 　 19．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO=∠BCD； （2）若EB=2cm，CD=8m，求⊙O的直径． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】（1）根据垂径定理得出弧BC=弧BD，根据圆周角定理得出∠BCD=∠CAB，根据等腰三角形的性质得出∠CAB=∠ACO，即可得出答案； （2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出BC，证△BCE和△BCA相似得出比例式，代入即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，AB过O， ∴弧BC=弧BD， ∴∠BCD=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠ACO=∠BCD； （2）解：∵AB⊥CD，AB过O，CD=8m， ∴CE=DE=4m， 在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC==2（m）， ∵AB为直径，AB⊥CD， ∴∠BCA=∠CEB=90， ∵∠B=∠B， ∴△BEC∽△BCA， ∴=， ∴BA===10（m）， 即⊙O的直径是10m． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 　 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的一个根为1，则求方程的另一根． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）根据根的判别式列出关于m的不等式，求解可得； （2）设方程的另一个根为x2，根据韦达定理列出方程组，解方程组即可得． 【解答】解：（1）根据题意，[﹣（2m+3）]2﹣4（m2+2）＞0， 解得：m＞﹣； （2）设方程的另一个根为x2， 则， 解得：或， 即方程的另一个根为2或6． 【点评】本题主要考查根的判别式与韦达定理，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 　 21．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90后得到△A1OB1． （1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标； （2）在旋转过程中，点B经过的路径的长； （3）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积． 【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；扇形面积的计算． 【专题】作图题． 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标； （2）利用勾股定理列式求出OB的长，再利用弧长公式列式计算即可得解； （3）根据AB扫过的面积等于以OA、OB为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△A1OB1如图所示， A1（﹣3，3），B1（﹣2，1）； （2）由勾股定理得，OB==， 所以，弧BB1==π； （3）由勾股定理得，OA==3， S扇形OAA1==π， S扇形OBB1==π， 则线段AB所扫过的面积为：π﹣π=π． 【点评】本题考查利用旋转变换作图，弧长计算，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，（3）判断出AB扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 　 22．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元． （1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元； （2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）把y=70代入y=﹣5x+150，求出x即可； （2）每月销售量y=﹣5x+150，乘以每件利润（x﹣10）即可得到每月获得的利润w元的表达式； （3）转化为二次函数求出最大值即可． 【解答】解：（1）当y=70时，70=﹣5x+150， 解得x=16， 则（16﹣10）70=420元； （2）w=（x﹣10）（﹣5x+150） =﹣5x2+200x﹣1500， ∵， ∴自变量的取值范围为10≤x≤18； （3）w=﹣5x2+200x﹣1500 =﹣5（x﹣20）2+500 ∵a=﹣5＜0， ∴当10≤x≤18时，w随x的增大而增大， ∴当x=18时，w有最大值，为480元． 答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 　 23．（11分）（2016•泰安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； （2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； （3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值； （3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9， ∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5， ∴a=﹣1， y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5， （2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0， ∴x1=﹣1，x2=5， ∴E（﹣1，0），B（5，0）， 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（0，5），B（5，0）， ∴m=﹣1，n=5， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+5； 设P（x，﹣x2+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5）， ∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD=ACPD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x， ∴当x=﹣=时， ∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大=， （3）如图， 过M作MH垂直于对称轴，垂足为H， ∵MN∥AE，MN=AE， ∴△HMN≌△AOE， ∴HM=OE=1， ∴M点的横坐标为x=3或x=1， 当x=1时，M点纵坐标为8， 当x=3时，M点纵坐标为8， ∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5， ∵MN∥AE， ∴MN的解析式为y=5x+b， ∵点N在抛物线对称轴x=2上， ∴N（2，10+b）， ∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2 ∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称， ∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7， ∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）， 当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）， 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值． 第27页（共27页）