张家口市宣化县2016届九年级上期中数学试卷含答案解析.doc

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2015-2016学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 2．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是( ) A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 3．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A（4，2），则点A1的坐标是( ) A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，﹣4） 4．关于x的一元二次方程x2+m=2x，没有实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1 5．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( ) A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2 6．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为( ) A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9 C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=9 7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，直线x=1是该二次函数图象的对称轴，且它的图象开口向下，若点A（0，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( ) A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．不能确定 8．如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB⇒BC⇒CD⇒DA⇒AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( ) A． B． C． D． 9．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90，∠A=30，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( ) A．30，2 B．60，2 C．60， D．60， 10．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 给出了结论： （1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4； （2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2； （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧． 则其中正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案写在题中横线上） 11．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是__________． 12．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__________． 13．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为__________． 14．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90，那么点B的对应点B′的坐标是__________． 15．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行__________m才能停下来． 16．新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为__________． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=60，AB=6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60得到的，则线段B′C的长为__________． 18．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 19．用适当的方法解方程： （1）x2﹣2x+2=0 （2）（x﹣3）（x+4）=2（x+4） 20．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4． （1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿逆时针方向旋转90后的图形△AB1C1； （2）若点B的坐标为（﹣4，3），试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标； （3）作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出A2、B2、C2三点的坐标． 21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 22．为使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2014年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房10万平方米，预计到2016年底三年共累计投资9亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，求到2016年底共建设了多少万平方来廉租房． 23．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 24．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC=∠B=90， ∴∠FDG=180，点F、D、G共线． 根据__________，易证△AFG≌__________，得EF=BE+DF． （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系__________时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 25．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值； （2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．  2015-2016学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误． 故选C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是( ) A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 【考点】二次函数的性质． 【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴． 【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 3．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A（4，2），则点A1的坐标是( ) A．（4，﹣2） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，﹣4） 【考点】关于原点对称的点的坐标． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点A1的坐标即可． 【解答】解：∵△ABO与△A1B1O关于点O成中心对称，点A（4，2）， ∴点A1的坐标是：（﹣4，﹣2）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 4．关于x的一元二次方程x2+m=2x，没有实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1 【考点】根的判别式． 【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围． 【解答】解：∵方程x2+m=2x， x2﹣2x+m=0，没有实数根， ∴△=b2﹣4ac=4﹣4m＜0， 解得：m＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 5．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( ) A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可． 【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0）， ∵向下平移2个单位， ∴纵坐标变为﹣2， ∵向右平移1个单位， ∴横坐标变为﹣1+1=0， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2）， ∴所得到的抛物线是y=x2﹣2． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解． 6．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为( ) A．（x+4）2=9 B．（x﹣4）2=9 C．（x+8）2=23 D．（x﹣8）2=9 【考点】解一元二次方程-配方法． 【专题】计算题． 【分析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【解答】解：x2+8x+7=0， 移项得：x2+8x=﹣7， 配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9． 故选A 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，直线x=1是该二次函数图象的对称轴，且它的图象开口向下，若点A（0，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( ) A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．不能确定 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】由对称轴可以知道 A、B两点关于直线x=1对称，从而可以求得这两点对应的纵坐标也相等就可以结论． 【解答】解：∵A（0，y1），B（2，y2），且对称轴x=1， ∴A、B两点关于x=1对称， ∴A、B两点的纵坐标相等， ∴y1=y2 ∴B答案正确， 故选B 【点评】本题是一道二次函数的试题，考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的纵坐标特征． 8．如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB⇒BC⇒CD⇒DA⇒AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( ) A． B． C． D． 【考点】正方形的性质． 【专题】压轴题；规律型． 【分析】根据题意可得这个小正方形第一次回到起始位置时需12次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，则此时就不难得到这个小正方形第一次回到起始位置时的方向． 【解答】解：根据题意分析可得：小正方形沿着正方形ABCD的边AB⇒BC⇒CD⇒DA⇒AB连续地翻转，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方，即这个小正方形第一次回到起始位置时需12次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，故回到起始位置时它的方向是向上． 故选A． 【点评】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 9．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90，∠A=30，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( ) A．30，2 B．60，2 C．60， D．60， 【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形． 【专题】压轴题． 【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90，∠A=30，BC=2， ∴∠B=60，AC=BCcot∠A=2=2，AB=2BC=4， ∵△EDC是△ABC旋转而成， ∴BC=CD=BD=AB=2， ∵∠B=60， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60， ∴∠DCF=30，∠DFC=90，即DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∵BD=AB=2， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF=BC=2=1，CF=AC=2=， ∴S阴影=DFCF==． 故选C． 【点评】本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即： ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前、后的图形全等． 10．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 给出了结论： （1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4； （2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2； （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧． 则其中正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】二次函数的最值；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点． 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点的纵坐标为0对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：（1）由表可知，x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4，故本小题正确； （2）若y＜0，则x的取值范围为﹣1＜x＜3，故本小题错误； （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0），（3，0），它们分别在y轴两侧正确，故本小题正确； 综上所述，正确结论的个数是2． 故选C． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，从图表数据准确获取信息是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案写在题中横线上） 11．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是﹣3． 【考点】一元二次方程的解． 【分析】一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【解答】解：把x=2代入方程x2+mx+2=0，可得4+2m+2=0，得m=﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题． 12．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是60． 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数． 【解答】解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F， ∴旋转角为60，E，F是对应点， 则∠EAF的度数为：60． 故答案为：60． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键． 13．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】判别式法． 【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴△=0， ∴b2﹣4ac=82﹣42m=0； ∴m=8． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系． 14．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90，那么点B的对应点B′的坐标是（1，0）． 【考点】坐标与图形变化-旋转． 【专题】数形结合． 【分析】先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标． 【解答】解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90，点B的对应点B′的坐标为（1，0）． 故答案为：（1，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180． 15．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行20m才能停下来． 【考点】二次函数的应用． 【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【解答】解：依题意：该函数关系式化简为S=﹣5（t﹣2）2+20， 当t=2时，汽车停下来，滑行了20m． 故惯性汽车要滑行20米． 【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度中等． 16．新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为（40﹣2x）（26﹣x）=800． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】几何图形问题． 【分析】把甬道移到小区的上边及左边，根据草坪的面积得到相应的等量关系即可． 【解答】解：草坪可整理为一个矩形，长为（40﹣2x）米，宽为（26﹣x）米， 即列的方程为（40﹣2x）（26﹣x）=800， 故答案为（40﹣2x）（26﹣x）=800． 【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“花草的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=60，AB=6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60得到的，则线段B′C的长为． 【考点】旋转的性质． 【专题】压轴题． 【分析】作B′E⊥AC交CA的延长线于E，由直角三角形的性质求得AC、AE，BC的值，根据旋转再求出对应角和对应线段的长，再在直角△B′EC中根据勾股定理求出B′C的长度． 【解答】解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E． ∵∠ACB=90，∠BAC=60，AB=6， ∴∠ABC=30， ∴AC=AB=3， ∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60得到的， ∴AB=AB′=6，∠B′AC′=60， ∴∠EAB′=180﹣∠B′AC′﹣∠BAC=60． ∵B′E⊥EC， ∴∠AB′E=30， ∴AE=3， ∴根据勾股定理得出：B′E==3， ∴EC=AE+AC=6， ∴B′C===3． 故答案为：3． 【点评】本题把旋转的性质和直角三角形的性质结合求解，考查了学生综合运用数学知识的能力． 18．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】压轴题． 【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可． 【解答】解：过点P作PM⊥y轴于点M， ∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0）， ∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3， 得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h， 将（﹣6，0）代入得出： 0=（﹣6+3）2+h， 解得：h=﹣， ∴点P的坐标是（﹣3，﹣）， 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积， ∴S=|﹣3||﹣|=． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 19．用适当的方法解方程： （1）x2﹣2x+2=0 （2）（x﹣3）（x+4）=2（x+4） 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【专题】计算题． 【分析】（1）利用完全平方公式把方程左边分解，则方程化为x﹣=0，然后解一次方程即可； （2）先把方程变形为（x﹣3）（x+4）﹣2（x+4）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣2x+（）2=0， （x﹣）2=0， 所以x1=x2=； （2）（x﹣3）（x+4）﹣2（x+4）=0， （x+4）（x﹣3﹣2）=0， x+4=0或x﹣3﹣2=0， 所以x1=﹣4，x2=5． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 20．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4． （1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿逆时针方向旋转90后的图形△AB1C1； （2）若点B的坐标为（﹣4，3），试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标； （3）作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出A2、B2、C2三点的坐标． 【考点】作图-旋转变换． 【专题】压轴题；网格型． 【分析】本题要求在网格中将图形旋转90，180；要充分运用各网格的垂直关系，按照旋转中心，旋转方向，旋转度数的要求画图，可以看出，旋转后的图形顶点都在网格上，按要求建立坐标系，就可以写出各点的坐标了． 【解答】解：（1）； （2）A（﹣1，﹣1），C（﹣4，1）； （3）A1（1，1），B2（4，﹣3），C2（4，1）． 【点评】本题综合了图形的旋转，直角坐标系的知识，要求学生理解题意，准确画图，会表示各点的坐标． 21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】代数几何综合题． 【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键． 22．为使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2014年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房10万平方米，预计到2016年底三年共累计投资9亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，求到2016年底共建设了多少万平方来廉租房． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题． 【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2016年底三年共累计投资9亿元人民币建设廉租房，列方程求解； （2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资单位面积所需钱数可得结果． 【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x， 根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9， 解得：x=﹣2.5（舍去）或x=0.5=50%． 答：每年市政府投资的增长率为50%； （2）到2016年底共建廉租房面积=9=45（万平方米） 答：到2016年底共建设了45万平方来廉租房． 【点评】主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率． 23．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据每月的利润z=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式， （2）把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值； （3）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题． 【解答】解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800， ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800； （2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800， 解这个方程得x1=25，x2=43， 所以，销售单价定为25元或43元， 将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512， 因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元； （3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知， 当25≤x≤43时z≥350， 又由限价32元，得25≤x≤32， 根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小， ∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18（﹣232+100）=648（万元）， 因此，所求每月最低制造成本为648万元． 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值，第（3）小题关键是确定x的取值范围． 24．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC=∠B=90， ∴∠FDG=180，点F、D、G共线． 根据SAS，易证△AFG≌△AFE，得EF=BE+DF． （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠ADC=180时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案； （3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【解答】解：（1）∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG，可使AB与AD重合，如图1， ∵∠ADC=∠B=90， ∴∠FDG=180，点F、D、G共线， 则∠DAG=∠BAE，AE=AG， ∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90﹣45=45=∠EAF， 即∠EAF=∠FAG， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴EF=FG=BE+DF； 故答案为：SAS；△AFE； （2）∠B+∠D=180时，EF=BE+DF； ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG，可使AB与AD重合，如图2， ∴∠BAE=∠DAG， ∵∠BAD=90，∠EAF=45， ∴∠BAE+∠DAF=45， ∴∠EAF=∠FAG， ∵∠ADC+∠B=180， ∴∠FDG=180，点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， ， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF=FG， 即：EF=BE+DF， 故答案为：∠B+∠ADC=180； （3）BD2+CE2=DE2． 理由是：把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF， 则∠FAB=∠CAE． ∵∠BAC=90，∠DAE=45， ∴∠BAD+∠CAE=45， 又∵∠FAB=∠CAE， ∴∠FAD=∠DAE=45， 则在△ADF和△ADE中， ， ∴△ADF≌△ADE， ∴DF=DE，∠C=∠ABF=45， ∴∠BDF=90， ∴△BDF是直角三角形， ∴BD2+BF2=DF2， ∴BD2+CE2=DE2． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 25．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值； （2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【考点】二次函数综合题． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标； （3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长． 【解答】解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A（1，0），B（0，3）． 又∵抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3）， ∴，解得， 故a，k的值分别为1，﹣1； （2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E． 在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2， 在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2， ∵AQ=BQ， ∴1+m2=4+（3﹣m）2， ∴m=2， ∴Q点的坐标为（2，2）； （3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线． 又∵对称轴x=2是AC的中垂线， ∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）． 此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN， ∴四边形AMCN为正方形． 在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．