2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 文（含解析）.doc

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2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 文（含解析） 【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念. 第I卷 （选择题，共60分）． 【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 【题文】 1．已知全集U为实数集，集合 ， 则图中阴影部分表示的集合为 A. B. C． D. 【知识点】集合 A1 【答案】【解析】D 解析：由题意可求出，所在正确为D. 【思路点拨】根据题意求出各集合中元素的范围，再根据图形求出正确的集合. 【题文】 2．设i为虚数单位，复数 ，若 是 纯虚数，则实数a的值为 A． B． C．- 6 D.6 【知识点】复数 L4 【答案】【解析】B 解析：由题可知，又已知是纯虚数，则，所以B正确. 【思路点拨】根据复数的运算，我们可进行分母实数化运算，再由实部等于零可求出a. 【题文】3．过点P(2，3)的直线 与圆 相交于A,B两点，当弦AB最短时，直线的方程是 A. 2x+3y – 13=0 B．2x- 3y+5 =0 C.3x - 2y =0 D.3x+2y- 12 =0 【知识点】直线与圆 H4 【答案】【解析】A 解析：由题意可知当P点到圆心的距离为弦心距时AB最短，这时，又过P点所以直线方程为，所以A为正确选项. 【思路点拨】由直线与圆的位置关系可知OP为弦心距时AB最短，求出斜率再代入即可. 【题文】 4．已知 ，若a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，则此等比数列的公比为 A．4 B．2 C．1 D． 【知识点】等比数列 D3 【答案】【解析】A解析：由题意可知，所以第二项除以第一项等于4，所以A为正确选项. 【思路点拨】根据等比数列的定义求出字母a，再求出数列的各项即可求出公比. 【题文】 5．设等边三角形ABC边长为6，若 ，则 等于 A. B． C．- 18 D．18 【知识点】向量的数量积 F3 【答案】【解析】B 解析：由题意可得 【思路点拨】由三角形的关系可利用向量的数量积可求出结果. 【题文】 6．已知实数a，b满足，设函数 ，则使f(a)≥f(b)的概率为 A． B． C． D． 【知识点】概率 K3 【答案】【解析】D 解析：由题意可知a,b的值一定在的递减区间上，而在所表示的范围中，的概率是相等的，所以f(a)≥f(b)的概率为，所以D正确. 【思路点拨】由几何概型的计算方法可以求出概率. 【题文】7．已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点 位于 A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【知识点】三角函数 C2 【答案】【解析】A 解析：由题意可知角A小于，，又因为，所以P点的横纵坐标都为正值，所以A正确. 【思路点拨】由三角之间的关系可求判定P点的位置. 【题文】8．设 是定义在[-2，2]上的奇函数，若f(x)在[-2，0]上单调递减，则使 成立的实数a的取值范围是 A B. C. D. 【知识点】函数的奇偶性 B4 【答案】【解析】B 解析：根据奇函数的性质可知，若f(x)在[-2，0]上单调递减，则 在区间也单调递减，且 ，所以，所以正确选项为B. 【思路点拨】根据函数的奇偶性与单调性可直接列出关系式求解. 【题文】9．设 分别是双曲线 的左，右焦点，点 在此双曲线上，且 ，则双曲线C的离心率P等于 A． B． C． D． 【知识点】双曲线 H6 【答案】【解析】B 解析：将点P代入可得，再由可得，根据可得所以B正确. 【思路点拨】由题目中的条件可以求出双曲线的离心率. 【题文】10．若 ，均有 ，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【知识点】指数函数与对数函数 B6 B7 【答案】【解析】A解析：由指数函数与对数函数的图像可知，再由，所以A正确. 【思路点拨】根据指数函数与对数函数的图像与性质可判定结果. 【题文】11.边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将△ADE沿DE折起至ADE位置，使AM= ，设MC的中点为Q,AB的中点为P，则 ①AN 平面BCED ③NQ∥平面AEC ③DE平面AMN， ④平面PMN∥平面AEC 以上结论正确的是 A.①②④ B.②③④. C.①②③ D.①③④ 【知识点】空间几何体 G4 G5 【答案】【解析】C解析：由题意可知MN与CE在同一平面内且不平行，所以一定有交点，即平面PMN与平面AEC有交点，所以不平行，④错误，其它可计算出正确.所以C为正确选项. 【思路点拨】根据空间几何体的位置关系进行计算可判定结果. 【题文】12．已知函数 ，令 则 A．0 B． C． D． 【知识点】函数的性质 B10 【答案】【解析】D 解析：本题可令，依次类推可知，所以D正确. 【思路点拨】由函数的性质可直接找出规律，再求出最后结果. 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 【题文】二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 【题文】13．执行如图的程序，则输出的结果等于____ 【知识点】程序框图 L1 【答案】【解析】2500 解析：由题意可得，也可得，这时 【思路点拨】由程序框图可计算结果. 【题文】14．如图，某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角 三角形，则此几何体最长的棱长为___ 【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】 解析：由题意可作出三视图的直观图是四个面都是直角三角形的四面体，由直观图可知最长的棱长为 【思路点拨】由几何体的三视图可以想出直观图，再由直观图求出棱长. 【题文】15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a=2c，则sinC的最大值为 ______________． 【知识点】余弦定理 C8 【答案】【解析】解析：由题意可知c不是最大边，再由三角形边长的关系可知，再由余弦定理可知，所以 【思路点拨】由三角形中角的关系可利用余弦定理可求出结果. 【题文】16、已知数列 的通项公式为 ，若此数列为单调递增数列，则实数的取值范围是____________． 【知识点】数列的性质 D1 【答案】【解析】a＞﹣3 解析：∵an=n2+n， ∴an+1=（n+1）2+（n+1）∵an是递增数列， ∴（n+1）2+（n+1）﹣n2﹣n＞0化简可得2n+1+＞0 ∴＞﹣2n﹣1，对于任意正整数n都成立，∴＞﹣3 【思路点拨】由题意可得an+1=（n+1）2+（n+1），要满足为递增需数列an+1﹣an＞0，化简可得＞﹣2n﹣1，只需求出﹣2n﹣1的最大值即可． 【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 【题文】 17．（本小题满分10分） 已知 是椭圆等的左，右焦点，以线段 为直径的圆与圆C关于直线x+y-2=0对称． (l)求圆C的方程； (2)过点P(m，0)作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标． 【知识点】直线与椭圆 H8 【答案】【解析】(1) (2) 解析：由题意可知，线段的中点为坐标原点O，设点O关于直线对称的点C的坐标为，则半径为，所以圆C的方程为 （2）切线长当PC最小时，切线长取得最小值，当PC垂直于X轴，即点P位于处时，取，此时切线长取最小值为. 【思路点拨】根据直线与椭圆的关系可以求出圆的半径与圆心坐标，再求出圆的方程，再根据几何关系可求出切线的最小值与P点的坐标. 【题文】18.（本小题满分12分） 已知数列 的前n项和公式为 ． (1)求数列 的通项公式. （2）令 ，求数列 的前n项和 （其中， ）． 【知识点】数列的通项公式与前n项和公式 D3 D4 【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)当 时， ，当 ，且 ，所以 的通项公式为 (2) ，令，即从第四项开始各项均非负，所以当时， 【思路点拨】由前n项和与通项的关系可求出通项公式，再由数列的特点求出前n项和. 【题文】 19．（本小题满分12分） 如图，△ABC中， ，点D在BC边上，点E 在AD上． (l)若点D是CB的中点， 求△ACE的面积； (2)若 ，求 DAB的余弦值． 【知识点】正弦定理；余弦定理 C8 【答案】【解析】(1) （2） 解析：在中，为等腰三角形， （2）设，在中，， 【思路点拨】由余弦定理可求三角形的边与角，再求出面积，再利用正弦定理求出余弦值. 【题文】20．（本小题满分12分） 三棱柱 中， 在底面ABC内的射影为AC的中点D． (1)求证： ； (2)求三棱锥 的体积． 【知识点】空间几何体 G7 【答案】【解析】(1)略(2) 解析：(1)证明 且交线为AC， (2) 【思路点拨】由空间的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系可证线线垂直，再由等体积法可求出体积. 【题文】21.（本小题满分12分） 已知过点 的直线 与抛物线 交于A，B两点，且 ，其中O为坐标原点． (1)求p的值； (2)若圆与直线相交于以C，D(A，C两点均在第一象银)，且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线的方程． 【知识点】直线与抛物线 H8 【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)设，直线L的方程为，由消去x得，所以， (2)由（1）知，所以，成等差数列，，又CD为圆的直径，所以L的方程为 【思路点拨】由直线与抛物线的方程联立，再结合条件可求出p的值，再根据条件可求出直线方程. 【题文】22．（本小题满分12分） 已知函数　，其中常数　。 (1)讨论　在(0，2)上的单调性； (2)若　，曲线　上总存在相异两点　使得曲线　在M，N两点处切线互相平行，求　的取值范围． 【知识点】导数与函数的单调性 B11 【答案】【解析】(1)略(2) 解析：①当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增；②当时，，恒成立，所以函数在上单调递减；③当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由题意，化简得，所以，即对恒成立.令，对恒成立即的取值范围是. 【思路点拨】由函数的导数可讨论函数的单调性，再构造函数求出的取值范围