海淀区高三二模数学试题及答案理科.doc

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海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科） 2010.5 审核：陈亮 校对：张浩 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．函数图象的对称轴方程可以为 A． B． C． D． 3．如图，是⊙O的直径，切⊙O于点， 连接，若，则的大小为 A. B. C. D. 4．函数在定义域内零点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 开始 S=0 M S=S+k 结束 输出S 是 否 k=1 5．已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为 A．1 B． C．1或 D．0 6．已知，是不同的直线，，是不同的平面，则下列条件能 使成立的是 A．， B．， C．， D．， 7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为 A． B． C． D． 8．已知动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，若直线与圆C有公共点，则圆C的面积 A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．在极坐标系中，若点()是曲线上的一点，则 . 10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙 两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如 右图）.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准差，则 .（填“”、“”或“＝”） 11．已知向量a=，b=，若，则 ； . 12. 已知数列满足，（N），则的值为 . 13．在中，角,,所对应的边分别为,,，若，则的最大值为 . 14．给定集合，映射满足： ①当时，； ②任取若，则有. .则称映射：是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”. 表1 表2 1 2 3 2 3 1 1 2 3 4 3 （1）已知表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； （2）若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分） 记等差数列的前n项和为，已知. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前n项和. 16．（本小题满分14分） 已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 17．（本小题满分13分） 为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率； （Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望． 18．（本小题满分13分） 已知函数，其中a为常数，且. （Ⅰ）若，求函数的极值点； （Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 19．（本小题满分13分） 已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点. （Ⅰ）写出抛物线的标准方程； （Ⅱ）若，求直线的方程； （Ⅲ）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值. 20．（本小题满分14分） 已知函数的图象在上连续不断，定义： ， ． 其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”． （Ⅰ）若，，试写出，的表达式； （Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由； （Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.  海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 2010．5 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A B A D 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．1 10． 11．2 ； 12．48 13． 14． ；84. 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由， 可得 ， ………………………2分 即， 解得， ………………………4分 ∴， 故所求等差数列的通项公式为. ………………………5分 （Ⅱ）依题意，， ∴ ， ………………………7分 又， …………………9分 两式相减得 ………………………11分 ， ………………………12分 ∴. ………………………13分 16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连结交于，连结 ， ， ， ………… 1分 ， ， ， ………… 3分 ， . ………… 4分 （Ⅱ）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，, , ………………………5分 , ………………………7分 异面直线与所成角的余弦值为 . ………………………8分 （Ⅲ）侧棱, , ………………………9分 设的法向量为, ，并且, ，令得，, 的一个法向量为 . ………………………11分 , ………………………13分 由图可知二面角的大小是锐角, 二面角大小的余弦值为 . .………………………14分 17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………………1分 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况 . …………………2分 事件A所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为. ………………5分 （Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则. .………………………6分 4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布. 可取的值为0，1，2，3，4. .………………………8分 ， . .………………………10分 的分布列为: 0 1 2 3 4 .………………………12分 的期望为． .………………………13分 18.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）依题意得，所以， .………………………1分 令，得， .………………………2分 ，随x的变化情况入下表： x － 0 + 0 － 极小值 极大值 ………………………4分 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. ………………………5分 （Ⅱ） , .………………………6分 由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， .………………………7分 当时，，显然对任意恒成立； .…………………8分 当时，等价于， 因为，不等式等价于, .………………………9分 令， 则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增， 所以在上的最小值为， .………………………11分 由于对任意恒成立等价于对任意恒成立， 需且只需，即，解得，因为，所以. 综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为. .………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）, .………………………6分 由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， …………………7分 当时，，显然对任意恒成立； …………………8分 当时，令，则函数图象的对称轴为， .………………………9分 若，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以; ..………………………11分 若，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假如对任意恒成立，则有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立. 综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为. .………………………13分 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，抛物线的方程为：， …………2分 （Ⅱ）设直线的方程为：. 联立，消去，得 ， ………………3分 显然，设， 则 ① ② …………………4分 又，所以 ③ …………………5分 由①② ③消去，得 ， 故直线的方程为或 . …………………6分 （Ⅲ）设，则中点为， 因为两点关于直线对称， 所以，即，解之得， …………………8分 将其代入抛物线方程，得： ，所以，. ………………………9分 联立 ，消去，得： . ………………………10分 由，得 ，即， …………………12分 将，代入上式并化简，得 ，所以，即， 因此，椭圆长轴长的最小值为. ………………………13分 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得: , ………………………1分 . ………………………2分 （Ⅱ）, ………………………3分 , ………………………4分 , ………………………5分 当时，,; 当时，; 当时，. 综上所述， ………………………6分 即存在，使得是上的4阶收缩函数. ………………………7分 （Ⅲ）,令得或. 函数的变化情况如下： 令，解得或3. ………………………8分 ⅰ）时，在上单调递增，因此，，. 因为是上的2阶收缩函数， 所以，①对恒成立； ②存在，使得成立. ………………………9分 ①即：对恒成立， 由，解得：或， 要使对恒成立，需且只需. .………………………10分 ②即：存在，使得成立. 由得：或， 所以，需且只需. 综合①②可得：. .………………………11分 ⅱ）当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得： ，， 可得 ， 此时，不成立. .………………………13分 综合ⅰ）ⅱ）可得：. 注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已.