2019-2020年高中数学 第五章 矩阵的特征值与特征向量（一）同步练习 北师大版选修4-2.doc
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2019-2020年高中数学 第五章 矩阵的特征值与特征向量（一）同步练习 北师大版选修4-2 1、矩阵的特征值是( ) A、 B、 C、 D、 2、零为矩阵A的特征值是A为不可逆的( ) A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件 3、给定矩阵及向量，对任意的向量，则 。 4、矩阵的特征值是 。 5、已知矩阵有特征值及对应特征向量，并有特征值及对应向量，则矩阵A= 。 6、，则。 7、的特征值为_____________。 8、求矩阵的特征值和特征向量。 9、给定矩阵M=及向量， (1)求M的特征值及对应的特征向量； (2)确定实数a,b使向量可表示为； (3)利用(2)中表达式间接计算。 10、对下列兔子、狐狐狸模型进行分析： ① ② (1)分别确定以上模型对应矩阵的特征值； (2)分别确定以上模型最大特征值对应的特征向量,及较小特征值对应的特征向量: (3)如果初始种群中兔子与狐狸的数量,分别把第n年种群中兔子与狐狸的数量表示为和的线性组合,即； (4)利用(3)中表达式分析当n越来越大时, 的变化趋势。 参考答案： 1、A 2、C 3、 4、 5、 6、 7、 8、；属于特征值的一个特征向量为，的一个特征向量为。 解：矩阵M的特征值满足方程： 解得矩阵M的两个特征值： 。 （1）设属于特征值的特征向量为，则它满足方程，即 ，亦即， 则可取作为属于特征值的一个特征向量。 （2）同理可得的一个特征向量为。 9、（1）；的一个特征向量为，的特征向量为； （2）； （3）； 。 10、令，则模型①可表示为， （1）矩阵M有两个特征值：； （2）属于最大特征值的特征向量，属于较小特征值的特征向量取； （3）由则 即 （4）当n越来越大时，越来越大，并趋向于无穷大，则和分别越来越大，趋向于无穷大。说明在此模型下，兔子和狐狸的数量将随时间增加而增加。
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