九年级数学上册26解直角三角形教学案冀教版.doc
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教学资料参考范本 九年级数学上册 26 解直角三角形教学案 （新版）冀教版 撰写人：__________________ 时 间：__________________ 1.理解锐角三角函数的概念,并能通过实例进行说明. 2.能推导并熟记30,45,60角的三角函数值,并能解决含有30,45,60角的三角函数值的计算. 3.能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角. 4.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形. 5.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题,并能对相关知识进行综合应用. 1.通过探究锐角正弦、余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力. 2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. 3.通过在直角三角形中探究三角函数与边长、角之间的数量关系,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移. 4.综合运用所学知识解决和直角三角形有关的计算,逐步提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性. 5.经历从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力,进一步感受数形结合思想在数学中的应用. 1.通过引导学生参与体验数学活动,让学生学会用数学思维方式思考、发现问题,提高数学思维能力.同时体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神. 2.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐. 3.让学生经历观察、操作等数学活动,探索三角函数有关知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 4.在探索直角三角形中边角关系的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯. 5.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成事实求是的科学态度. 本章《锐角三角函数》是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容,是初中阶段研究三角形部分的最后阶段,主要研究锐角三角函数的概念、求锐角三角函数的值,以及锐角三角函数的简单应用.它是在学习了函数、相似三角形的基础上,对直角三角形中边角之间的关系的进一步研究,属于三角学中的最基础的内容,而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,所以本章的学习是为高中数学中三角函数等知识的学习做好准备. 本章内容是在前面研究了直角三角形中勾股定理、两个锐角之间的关系的基础上,进一步研究边角之间的关系,本章中只有正确了解锐角三角函数的概念,才能真正理解直角三角形中边角之间的关系,从而利用这些关系来解直角三角形,这样才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边角之间的数量关系统一起来.锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用,这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会,研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论,解直角三角形主要依据锐角三角函数和勾股定理等内容,因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的基础.通过本章的学习,使学生全面掌握直角三角形的组成元素之间的关系,并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题,进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模思想. 本章重点是锐角三角函数的概念、解直角三角形及三角函数的简单应用.通过研究直角三角形中各元素之间的关系,并把这种关系用数量关系的形式表示出来,使学生经历数学抽象的过程,通过本章的学习,使学生进一步感受数形结合的思想,体会数形结合的方法.直角三角形中边角之间的关系在解决实际问题中有着重要的作用,现实生活中距离、高度、角度等计算问题,常常应用到解直角三角形的知识,使学生进一步感受数学建模思想在实际生活中的应用. 【重点】 正弦,余弦,正切概念、特殊角的三角函数值、会解直角三角形、能利用三角函数有关知识解决实际问题. 【难点】 把实际问题转化为直角三角形中的问题,并通过锐角三角函数解决问题. 1.组织学生积极参与课堂教学活动,根据问题情境,让学生在独立思考的基础上,鼓励学生在小组间通过合作与交流的方式解决问题. 2.关于锐角三角函数概念的教学,应注重创设符合学生实际的问题情境,从实际问题出发,让学生经历建立概念的过程,使学生感受数学与现实的联系. 3.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,鼓励学生有条理地进行思考和表达.在观察、操作和推理的过程中,使学生有意识地反思其中的数学思想方法. 4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望. 5.关于锐角三角函数求值的教学,应以实际操作为主,通过求函数值,使学生加深对锐角三角函数概念的理解,让学生初步感受到锐角三角函数值随角度的变化而变化. 6.对于锐角三角函数的应用,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后把实际问题转化为数学问题.同时,应注重数形结合思想方法的渗透,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出思想方法. 26.1锐角三角函数 2课时 26.2锐角三角函数的计算 1课时 26.3解直角三角形 1课时 26.4解直角三角形的应用 1课时 回顾与反思 1课时 26.1 锐角三角函数 1.经历正切、正弦、余弦概念建立的过程,理解三角函数的意义. 2.经历探索30,45,60角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,并能根据这些值说出对应的锐角度数. 3.能熟练地计算含有30,45,60角的三角函数的代数式的值. 4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算. 1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系. 2.通过探究锐角正弦、余弦、正切概念的形成,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,培养学生的归纳推理能力. 3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. 4.通过推导特殊角的三角函数值,学会综合运用数学知识解决问题的能力. 1.学生通过问题情境经历三角函数概念的形成过程,培养学生积极思考,勇于探索的精神. 2.通过思考、发现、总结、验证等数学活动,提高学生数学思维能力. 3.通过主动探究,合作交流,增强学生的合作意识,培养学生团队意识,同时让学生体验成功的快乐. 4.在探索与三角函数有关的知识过程中,学生通过观察、操作获取知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 【重点】 理解各三角函数的意义,会求锐角的各三角函数值;熟记30,45,60角的三角函数值,能熟练地计算含有30,45,60角的三角函数的代数式的值. 【难点】 探索各三角函数值的概念;30,45,60角的三角函数值的推导过程. 第课时 1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固定值,引出正切的概念. 2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算. 3.会计算特殊角的正切值. 1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系. 2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力. 1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神. 2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐. 【重点】 理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值. 【难点】 理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P104~106. 导入一: 【课件展示】 如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(∠AOC)为50;俯视旗杆底部B,俯角(∠BOC)为18.旗杆的高约为多少米? 【师生活动】 教师展示章前页问题情境并简单说明,学生观察图示,教师引出本章课题. [导入语] 通过测量仰角、俯角及小明与旗杆的距离,应用以前学过的数学知识,我们还不能求出旗杆的高度.通过本章的学习,你将能够解决这个问题. 导入二: 复习提问: 1.直角三角形有哪些特殊性质? 2.有一个锐角是30的直角三角形有什么特殊性质? 3.有一个锐角是45的直角三角形有什么特殊性质? 【师生活动】 学生思考回答,教师点评. 导入三: 【课件展示】 如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数) 教师提问: 该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段? (事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在RtΔABC中,已知∠C=90,∠BAC=55,AC=5 km,求BC长度的问题) 【师生活动】 教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评. [过渡语] 解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系,即锐角三角函数,今天我们学习第一种锐角三角函数——锐角的正切. [设计意图] 通过章前页问题情境提出如何求得旗杆高度,让学生认识到本章将要学习的主要内容,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角三角形的知识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入三中把实际问题转化为数学问题,让学生初步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系. 共同探究 直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值 【课件展示】 如图所示,在RtΔABC中和RtΔABC中,∠C=∠C=90.当∠A=∠A时,与具有怎样的关系? 思路一 教师引导思考: (1)如何证明线段成比例? (三角形相似) (2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗? (∵∠A=∠A,∠C=∠C=90,∴RtΔABC∽RtΔABC) (3)由三角形相似的性质可以得到与之间的关系吗? ∵RtΔABC∽RtΔABC,∴,即 (4)你能用语言叙述这个结论吗? (当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关) 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评. 思路二 教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进行分析指导,对学生的展示进行点评. 解:. 理由:∵∠A=∠A,∠C=∠C=90, ∴RtΔABC∽RtΔABC. ∴,即. 追问:你能用语言叙述这个结论吗? 【师生活动】 学生尝试叙述结论,教师归纳完整. 结论:当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关. [过渡语] 在上图中的两个直角三角形中,相等的角所对的直角边与邻边的比值是相等的,在下图中,上述结论是否还正确呢? 【课件展示】 如图所示,已知∠EAF<90,BC⊥AF,BC⊥AF,垂足分别为C,C.与具有怎样的关系? 【师生活动】 学生类比上边的思考方法,独立思考后,小组内交流答案,教师及时发现问题,及时帮助解决问题. 追问:根据以上两个图形中角的对边与邻边的比的探究,你能得到什么结论? 【师生活动】 学生独立思考后回答,教师点评,规范归纳的结论. 【课件展示】 在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90)确定时,以∠A为锐角的RtΔABC的两条直角边的比是确定的. [设计意图] 通过教师引导或独立思考后小组合作交流,让学生感知并证明锐角一定时,它的对边和邻边的比是定值,为引出正切的概念做好铺垫,同时培养学生观察、思考及合作交流的能力. 形成概念 [过渡语] 在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与邻边的比是固定值,那么这个固定值被定义为什么呢? 【课件展示】 如图所示,在RtΔABC中,∠C=90,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=. 大家谈谈: (1)∠A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体? (tan A表示的是一个整体) (2)当∠A的大小变化时,tan A是否变化? (tan A随着∠A的大小变化而变化) (3)tan A有单位吗? (tan A是一个比值,没有单位) (4)∠B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎样的关系? (5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边? (需要知道这个锐角的对边和邻边) (6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗? (根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解) 【师生活动】 学生独立思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点评. [设计意图] 在解决一系列的问题中,经历建立数学概念的过程,让学生全面理解正切的概念、写法和意义,教师强调概念中注意的事项,使学生加深对正切概念的理解和掌握. 例题讲解 (教材105页例1)在RtΔABC中,∠C=90. (1)如图(1)所示,∠A=30,求tan A,tan B的值. (2)如图(2)所示,∠A=45,求tan A的值. 【师生活动】 学生独立思考完成,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师巡视、观察学生的解答情况,对发现的问题及时解决,并对学生的展示进行点评和规范做题步骤. 解:(1)在RtΔABC中, ∵∠A=30, ∴∠B=60,且a=c. ∴b== c. ∴tan A=tan 30=cc=, tan B=tan 60=cc=. (2)在RtΔABC中, ∵∠A=45, ∴a=b. ∴tan A=tan 45==1. 这样,就得到tan 30=,tan 45=1,tan 60=. [设计意图] 学生独立完成该问题的理解和解答,巩固了对正切的概念的理解和应用,为下节课学习特殊角的三角函数值做好铺垫,同时教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力. [知识拓展] 1.正切是一个比值,没有单位. 2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关. 3.tan A是一个整体符号,不能写成tan A. 4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC. 5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2. 1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与邻边的比值是一个固定值. 2.正切的定义:在RtΔABC中,∠C=90,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=. 1.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90,三边分别为a,b,c,则tan A等于 ( ) A. B. C. D. 解析:根据锐角正切的定义可得tan A=.故选B. 2.把ΔABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值 ( ) A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 解析:因为ΔABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正切值也不变.故选A. 3.已知RtΔABC中,∠C=90,tan A=,BC=12,则AC等于 . 解析:根据正切定义可得tan A=,所以AC=9.故填9. 4.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90. (1)若tan A=,BC=9,求AB的长; (2)若tan B=,AC=16,求AB的长. 解:(1)∵tan A=,BC=9, ∴AC=12, 由勾股定理可得AB==15. ∴AB的长为15. (2)∵tan B=,AC=16,∴BC=12. 由勾股定理可得AB==20. ∴AB的长为20. 第1课时 共同探究 直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值 形成概念 例题讲解 一、教材作业 【必做题】 教材第106页习题A组第1,2题. 【选做题】 教材第106页习题B组第1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.已知RtΔABC中,∠C=90,BC=1,AC=2,则tan A的值是 ( ) A.2 B. C. D. 2.已知RtΔABC中,∠C=90,tan A=,BC=8,则AC等于 ( ) A.6 B. C.10 D.12 3.在RtΔABC中,∠C=90,若AC=2BC,则tan B的值是 ( ) A. B.2 C. D. 4.如图所示,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,若将ΔACB绕着点A逆时针旋转得到ΔACB,则tan B的值为 . 5.已知等腰三角形的腰长为6 cm,底边长为10 cm,则底角的正切值为 . 6.如图所示,点A(t,4)在第一象限,OA与x轴所夹的角为α,tan α=,则t的值是 . 7.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于点D,若BC=2,AB=3,求tan∠BCD的值. 【能力提升】 8.如图所示,ΔABC中,AB=AC,∠A=45,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E,连接CD.如果AD=1,那么tan∠BCD= . 9.如图所示,在ΔABC中,∠C=90,D是BC上一点,AC=2,CD=1,记∠CAD=α. (1)求α的正切值; (2)若∠B=α,求BD的长. 【拓展探究】 10.如图所示,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的F处,如果,求tan∠DCF的值. 【答案与解析】 1.B(解析:在RtΔABC中,∵∠C=90,AC=2,BC=1,∴tan A=.故选B.) 2.A(解析:∵tan A=,BC=8,∴AC=BC=6.故选A.) 3.B(解析:∵AC=2BC,∴tan B==2.故选B.) 4.(解析:由旋转可得∠B=∠B,所以tan B=tan B=.故填.) 5.(解析:根据等腰三角形的三线合一,可得底边的一半为5 cm,由勾股定理可得底边上的高为 cm,所以底角的正切值为.故填.) 6.3(解析:如图所示,过A点分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为B,C,∵点A(t,4)在第一象限,∴AB=4,OB=AC=t,又∵tan α=,∴t=3.故填3.) 7.解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=90,∴∠A+∠ACD=90,又∠BCD+∠ACD=90,∴∠BCD=∠A,在RtΔABC中,AC=,∴tan A=,∴tan∠BCD=tan A=. 8.-1(解析:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠A=∠ACD=45,∴∠ADC=∠BDC=90.∵AD=CD=1,∴AB=AC=,BD=-1.在直角三角形BCD中,tan∠BCD=-1.故填-1.) 9.解:(1)在RtΔACD中,tan α=. (2)在RtΔABC中,tan B=,由(1)知tan α=,又∠B=α,∴tan B=,又AC=2,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3. 10.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠D=90,∵将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的F处,∴CF=BC,∵,∴,设CD=2x,CF=3x,则DF=x,∴tan∠DCF=. 本节课通过复习特殊角直角三角形的性质,为探究锐角的正切概念做好铺垫,同时以具体情境引入新课,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生学习兴趣,并初步感受直角三角形中边角之间的关系.然后通过学生自主探究、合作交流等数学活动,归纳出结论:直角三角形中锐角一定时,它的对边与邻边的比相等.从而自然引出正切的概念,顺理成章完成知识的迁移,培养了学生发现问题、探究思考与合作交流的能力.在课堂上,学生参与意识较强,课堂气氛活跃,让不同的学生得到不同的发展,突出了学生在课堂上的主体作用. 本节课通过探究直角三角形中锐角的对边和邻边的比是固定值,由此归纳总结正切定义.在教学设计中,注重知识间的联系,由前边所学知识自然推导结论,由结论自然导出正切概念,但在授课过程中忽略了学生的认知能力,部分学生对正切的理解有困难.在以后的教学中,给出正切定义后,应给出几个简单的练习题,加深学生对概念的理解和掌握. 本节课根据问题情境中提出的问题,引导学生画出图形,将实际问题转化为数学问题,激发学生探究本节课的学习兴趣,然后根据已有的相似三角形的知识,让学生独立思考后,小组合作交流,探究出直角三角形中的锐角确定时,它的对边和邻边的比是确定的,很自然地引出正切的定义,然后通过例题讲解让学生进一步理解和掌握正切的概念.学生在经历概念的形成过程中,加深对正切概念的理解和掌握,同时提高了数学思维及归纳总结能力. 练习(教材第106页) 1.提示:(1)1. (2)2+. (3)0. (4). 2.解:在RtΔABC中,AC==2,tan B=. 3.解:根据勾股定理可以求得另一条直角边为,所以tan α=. 习题(教材第106页) A组 1.提示:-2-. 2.提示:AC=,AB=. B组 1.解:ΔABC的周长为AB+BC+AC=+10+,ΔABC的面积为ACBC=10=. 2.解:BC==6,∴tan B=. 加强探究能力,发展学生的思维能力 本节课的重点是探究直角三角形中锐角的正切概念,在教学设计中,通过“观察与思考”“大家谈谈”等教学环节,为学生提供探究交流的空间,发展学生的思维能力.首先通过复习特殊直角三角形的性质,为学生探究活动做好铺垫,然后让学生通过独立思考、小组合作交流、共同归纳等数学活动,探索出结论“在直角三角形中,当一个锐角确定时,这个角的对边与邻边的比是确定的”,从而很自然地把直角三角形中这个确定的值定义为这个锐角的正切.在课堂上以问题引导的形式让学生积极参与课堂,亲身经历概念的形成过程,为学生提供了更加广阔的探索空间,培养学生观察、思考、与他人合作及归纳总结的能力.然后设计“大家谈谈”环节,让学生独立完成后,小组交流得出结论,巩固对正切概念的理解.在例题讲解环节,设计了求30,45这些特殊角的正切值,学生在教师的引导下,再次经过独立思考后, 小组合作交流,得出正确结果,提高学生探究能力和分析问题、解决问题的能力,使学生的数学思维能力得到进一步的提升. (20xx内江中考)在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)作直线l:y=x+b(b为常数且b<2)的垂线,垂足为点Q,则tan∠OPQ= . 〔解析〕 如图所示,设直线l与坐标轴的交点分别为A,B,∵∠AOB=∠PQB=90,∠ABO=∠PBQ,∴∠OAB=∠OPQ,由题意可得OB=b,OA=2b,在RtΔOAB中,tan∠OAB=,∴tan∠OPQ=.故填. 第课时 1.经历正弦、余弦概念的形成过程,理解三角函数的定义,并能根据正弦、余弦的概念进行计算. 2.经历探索30,45,60角的正弦、余弦值的过程,能够进行有关推理,并能进行含有30,45,60角的三角函数值的计算. 1.结合正切概念探索锐角正弦、余弦概念的形成,培养学生类比推理的能力及归纳总结的能力. 2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. 3.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,学会综合运用数学知识解决问题的能力. 1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神. 2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证问题,提高数学思维能力. 3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐. 【重点】 1.理解正弦、余弦的概念,并会求锐角的正弦值、余弦值. 2.熟记30,45,60角的三角函数值,能熟练计算含有30,45,60角的三角函数的代数式的值. 【难点】 类比正切概念,探索正弦、余弦的概念及30,45,60角的正弦、余弦值的推导过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P106~108. 导入一: 复习提问: 1.在直角三角形中,如果一个锐角确定时,它的对边与邻边的比值有什么规律? 2.什么是正切?如何求一个角的正切? 3.含30,45的直角三角形有哪些性质? 4.你还记得我们探究正切概念时所得的30,45角的正切吗? 导入二: 观察两个不同大小的三角板,当角是30,45,60时,它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律?谈谈你的看法. [过渡语] 类比探究正切的方法,在直角三角形中,当锐角的度数一定时,它的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的吗?这就是我们这节课要学习的内容. [设计意图] 通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究本节课的内容,为本节课做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的对边与斜边、邻边与斜边的比值,观察、归纳规律,很自然地引出本节课的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力. 共同探究一 直角三角形中,锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比是定值 思路一 【课件展示】 如图所示,在RtΔAB1C1和RtΔAB2C2中,∠C1=∠C2=90. 【思考】 (1)RtΔAB1C1与RtΔAB2C2之间有什么关系? (RtΔAB1C1∽RtΔAB2C2) (2)与,与之间各有什么关系? (3)过射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3⊥AC1,垂足为C3,则与,与之间有什么关系? (4)根据以上思考,你得到什么结论? (直角三角形中∠A的对边与斜边、邻边与斜边的比值是固定不变的) (5)如果改变∠A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论. 【师生活动】 教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评. 【课件展示】 1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是确定的. 2.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的. 思路二 【课件展示】 如图所示,∠BAC为任意给定的一个锐角,B1,B2为射线AB上的任意两点,过点B1,B2分别作AC的垂线B1C1,B2C2,垂足分别为C1,C2. 【探究】 类比上节课探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与邻边的比是确定的”的方法,请你探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的”. 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师帮助学习有困难的学生,并对学生的展示进行点评. 【课件展示】 1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是确定的. 2.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的. [设计意图] 在教师提出的问题的引导下,学生通过小组合作交流,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为归纳理解三角函数定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力. 形成概念 [过渡语] 在直角三角形中,锐角的度数一定时,角的对边与斜边、邻边与斜边的比值是确定的,我们把确定值定义为什么呢? 【课件展示】 在RtΔABC中,∠C=90.锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值.∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A=. ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A=. 【思考】 (1)当锐角α的大小变化时,sin α,cos α,tan α是否变化? (2)对于锐角α的每一个确定的值,sin α,cos α和tan α是否有唯一的值和它对应? (3)sin α,cos α和tan α是不是α的函数? 【师生活动】 学生思考回答,教师引导点评. 归纳: 我们把锐角α正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 为方便起见,今后将(sin α)2,(cos α)2,(tan α)2分别记作sin2α,cos2α,tan2α. 大家谈谈: 如图所示,在RtΔABC中,∠C=90. (1)∠B的正弦与余弦分别是哪两边的比值? ∠B的正弦是,∠B的余弦是 (2)由a
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- 九年级 数学 上册 26 直角三角形 教学 案冀教版
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