2019-2020年高考数学专题复习 第27讲 平面向量应用举例练习 新人教A版.doc

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2019-2020年高考数学专题复习 第27讲 平面向量应用举例练习 新人教A版 [考情展望]　1.用向量的方法解决某些简单的平面几何证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向量运算的工具性． 一、向量在平面几何中的应用 1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． 2．用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线、相似等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb ⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0) 其中a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2) 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔ab＝0 ⇔x1x2＋y1y2＝0 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b 为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角) 二、向量在物理中的应用 1．向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． 2．向量在速度的分解与合成中的应用． 3．向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝fs. 1．已知三个力f1，f2，f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，则|f3|为(　　) A．2.5　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．5 【解析】 　由题意知f1＋f2＋f3＝0，∴f3＝－(f1＋f2)＝(0，－5)， ∴|f3|＝5. 【答案】　D 2．已知O是△ABC所在平面上一点，若＝＝，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 【解析】 　＝⇒(－)＝0， ∴＝0⇒OB⊥AC. 同理：OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O是△ABC的垂心． 【答案】　D 3．若＋2＝0，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【解析】 　＋2＝0可化为(＋)＝0， 即＝0，所以⊥.所以△ABC为直角三角形． 【答案】　D 4．已知两个力F1、F2的夹角为90，它们的合力F的大小为10 N，合力与F1的夹角为60，那么F1的大小为________． 【解析】 　如图所示． |F1|＝|F|cos 60＝10＝5(N)． 【答案】　5 N 5．(xx湖南高考)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，＝1，则BC＝(　　) A. B. C．2 D. 【解析】 　∵＝1，且AB＝2， ∴1＝||||cos(π－B)，∴||cos B＝－. 在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， 即9＝4＋|BC|2－22.∴|BC|＝. 【答案】　A 6．(xx福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 【解析】 　∵＝(1,2)(－4,2)＝－4＋4＝0， ∴⊥，∴S四边形ABCD＝||||＝2＝5. 【答案】　C 考向一 [080]　向量在平面几何中的应用 　(1)(xx长沙模拟)在△ABC中，已知向量与满足＝0，且＝，则△ABC为(　　) A．等边三角形　　　　　 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 (2)(xx济南模拟)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|bc|的值一定等于(　　) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B．以b，c为两边的三角形面积 C．以a，b为两边的三角形面积 D．以b，c为邻边的平行四边形的面积 (3)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则(－)的最大值为________． 【思路点拨】　(1)是单位向量，结合平行四边形法则及＝0分析AB与AC的关系，借助数量积的定义求∠CBA，进而得出△ABC的形状． (2)借助数量积的定义及三角函数诱导公式求解． (3)可采用坐标法和基向量法分别求解本题． 【尝试解答】　(1)因为＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC. 又＝，所以cos∠BAC＝，即∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形． (2)依题意可得|bc|＝|b||c|cos〈b，c〉 ＝|b||c|sin〈a，b〉 ＝S平行四边形． ∴|bc|的值一定等于以b，c为邻边的平行四边形的面积． (3) 法一　(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3,0≤x≤4，则(－)＝＝(x，y)(0,3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9. 法二　(基向量法)∵＝＋，－＝， ∴(－)＝(＋) ＝2＋＝9－ ＝9－||||cos∠BAC ＝9－3||cos∠BAC， ∵cos∠BAC为正且为定值， ∴当||最小即||＝0时，(－)取得最大值9. 【答案】　(1)A　(2)D　(3)9 规律方法1　1.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状，二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值. 2.平面几何问题的向量解法 (1)坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法,适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. 对点训练　(1)已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，＝＝，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心　　　　 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 (注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心) (2)(xx课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝________. 【解析】 　(1)∵||＝||＝||，即点O到A，B，C三点的距离相等，∴点O为△ABC的外心． 如图，设D为BC边的中心，则＋＝2， ∵＋＋＝0， ∴＋2＝0， ∴＝2，∴A，D，N三点共线， ∴点N在BC边的中线上． 同理，点N也在AB，AC边的中线上，∴点N是△ABC的重心． ∵＝， ∴－＝0，∴(－)＝0， ∴＝0，∴⊥. 同理，⊥，⊥， ∴点P是△ABC的垂心． (2)如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)， ∴＝(1,2)，＝(－2,2)， ∴＝1(－2)＋22＝2. 【答案】　(1)C　(2)2 考向二 [081]　向量在物理中的应用 　(1)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　) A．2　　　　B．2　　　　C．2　　　　D．6 图4－4－1 (2)如图4－4－1所示，已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m，问F、摩擦力f所做的功分别为多少？ 【思路点拨】　(1)利用F1＋F2＋F3＝0，结合向量模的求法求解． (2)力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力F，f和位移的夹角． 【尝试解答】　(1)如图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)． F＝F＋F＋2F1F2 ＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60＝28. ∴|F3|＝2. 【答案】　A (2)设木块的位移为s， 则Fs＝|F||s|cos 30＝5020＝500 J， F在竖直方向上的分力大小为 |F|sin 30＝50＝25(N)， 所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)0.02＝1.1(N)， 所以fs＝|f||s|cos 180＝1.120(－1)＝－22 J. ∴F，f所做的功分别是500 J，－22 J． 规律方法2　1.物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型. 2.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比.例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比. 3.用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题.　 　考向三 [082]　向量在三角函数中的应用 　(xx辽宁高考)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝ab，求f(x)的最大值． 【思路点拨】　分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解． 【尝试解答】　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 当x＝∈时，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为. 规律方法3　平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解. 对点训练　已知O为坐标原点，向量＝(sin α，1)，＝(cos α，0)，＝(－sin α，2)，点P满足＝. (1)记函数f(α)＝，求函数f(α)的最小正周期； (2)若O、P、C三点共线，求|＋|的值． 【解】　(1)＝(cos α－sin α，－1)， 设＝(x，y)，则＝(x－cos α，y)， 由＝得x＝2cos α－sin α，y＝－1，故＝(2cos α－sin α，－1)． ＝(sin α－cos α，1)，＝(2sin α，－1)， ∴f(α)＝(sin α－cos α，1)(2sin α，－1) ＝2sin2α－2sin αcos α－1 ＝－(sin 2α＋cos 2α) ＝－sin， ∴f(α)的最小正周期T＝π. (2)由O、P、C三点共线可得 (－1)(－sin α)＝2(2cos α－sin α)，得tan α＝， sin 2α＝＝＝， |＋|＝ ＝＝. 规范解答之七　平面向量与三角函数的交汇问题 求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：第一步：将向量间的关系式化成三角函数式；第二步：化简三角函数式；第三步：求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；第四步：明确表述结论． ————　[1个示范例]　————　[1个规范练]　———— 　　　(12分)(xx江苏高考)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a－b|＝，求证：a⊥b； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 【规范解答】　(1)证明　由题意得|a－b|2＝2，2分 即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2. 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2ab＝2，即ab＝0，故a⊥b.5分 (2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以7分 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.9分 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，11分 而α＞β，所以α＝，β＝.12分 【名师寄语】　(1)熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提. (2)解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式.在此基础上运用三角函数的知识求解. (xx烟台模拟)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sin β＝－.求sin α. 【解】　(1)|a－b|＝，|a－b|2＝， a2－2ab＋b2＝， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝， ∴2－2cos(α－β)＝，即cos(α－β)＝. (2)sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β， 又0＜α＜，－＜β＜0，则0＜α－β＜π， ∴sin(α－β)＝，cos β＝， ∴sin α＝＋＝.