2019-2020年高三数学5月模拟考试试题（一）理.doc

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2019-2020年高三数学5月模拟考试试题（一）理 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集集合,则( ) A． B． C． D． 2．复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为( ) A． B． C． D． 3．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( ) A． B． C． D． 4．下列四个结论： ①命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p” ． ②设是两个非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件． ③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样． ④设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为＝0.85x－85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg． 其中正确的结论个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知向量，．若向量满足，，则（ ）. A． B． C． D．6．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 (　　) A．2，－ 　　　B．2，－ C．4，－ 　　　D．4， 7．若数列满足，，则称数列为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 8．若实数满足不等式组 则的最大值是( )　 A． B． C． D． 9．已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线截得的弦长为a，则双曲线的离心率为( ) A．3 B．2 C． D． 10．已知为R上的连续函数，其导数为，当时，，则关于的函数的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．0或2 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题） 11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 . 12．设 ，则 展开式中的常数项为 .（用数字作答） 13．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计 .（用分数表示） 14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）是数列中的第 项；（Ⅱ） = ．（用n表示） （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修：几何证明选讲） 如图，为△外接圆的切线，平分，交圆于， 共线．若,,，则圆的半径是 . 16．（选修：坐标系与参数方程） 在直角坐标系中，曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在锐角中，． （I）求角；（Ⅱ）若，求的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，首项，且对于任意都有． （I）求的通项公式； （Ⅱ）设，且数列的前项之和为，求证：． 19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。 （I）求该同学被淘汰的概率； （Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望． 20．（本小题满分12分）如图，已知长方形中，,为的中点.将沿折起，使得平面平面. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为． 21．（本小题满分13分）如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。（Ⅰ）求，的方程；（Ⅱ）设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA，MB分别与相交与D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是．问：是否存在直线，使得?请说明理由． 22．（本小题满分14分）设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点． 求常数的值； 当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 求证：． xx届高三年级五月模拟考试（一）理科数学参考答案 1.B 2.A 3.C4.C 5.D 6.A 7.B 8.D 9.D 10.A 11. 137/60 12.210 13.47/15 14. 5035, 15. 2 16. 17. （1）由 且……………4分 （2）又 ……………8分 ……………12分 18.解：（1）解法一：由①可得当时，②， 由①-②可得，，所以， 即当时，，所以，将上面各式两边分别相乘得，，即（），又，所以（），此结果也满足，故对任意都成立。……………7分 解法二：由及可得，即， 当时， （此式也适合），对任意正整数均有， 当时，（此式也适合），故。……………7分 （2）依题意可得 ……………12分 19．解析：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为， 则，，， 所以该同学被淘汰的概率为： ．……………6分 （Ⅱ）的可能值为1,2,3，，，． 所以的分布列为： 1 2 3 P 数学期望为.……………6分 20. 解：（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM=，所以 又因为面平面， 所以， …………………………………………4分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系由（I）可知，平面ADM的法向量，设平面AEM的法向量， 所以 …………………………………………10分 由二面角的余弦值为得，，即：E为DB的中点。 …………………12分 21. 解 ：（Ⅰ）由题意知 故C1，C2的方程分别为……………4分 （Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为. 由得. 设是上述方程的两个实根，于是 又点M的坐标为（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME. ……………8分 （ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得 则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为 于是 由得解得 则点D的坐标为又直线ME的斜率为，同理，点E的坐标 于是.因此 由题意知， 又由点A、B的坐标可知， 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为……………13分 22. 解析：(1) 对求导得：，根据条件知，所以. (4分) (2) 由(1)得， ，. ① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有，合题意； ②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有，不合题意； ③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有，不合题意；. 综上可知，所求实数的取值范围是. （9分） (3) 对要证明的不等式等价变形如下 所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形 对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有. 取，当时，成立；当时，. 从而对于任意正整数都有成立. 对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立. 因此对于任意正整数，不等式恒成立. 这样依据不等式，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立. (14分)