2019-2020年高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（八） 含答案.doc

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xx届高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（八） 一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个正确选项） 1．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．命题甲：或；命题乙：，则甲是乙的 ( ) A.充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件； D.既不是充分条件，也不是必要条件. 3．在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为 （ ） A． B． C． D． 4．设，，是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( ) A.当时，若，则∥ B. 当时，若，则⊥ C.当，且c是a在内的射影时，若，则 D.当，且时，c∥，则b∥c 5．在数列{}中，若对任意的n均有＋＋为定值，且，，则数列的前100项的和S100＝ ( ) A．132 B．299 C．68 D．99 6．执行如图所示的程序框图，输出的值是 ( ) A．3 B。4 C。5 D。6 7．设等差数列满足： ， 公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是( ) A. B. C. D. 8．已知椭圆：和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为. 若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B。 C。 D。 9．如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60，∠ABD=45 ，则 （ ） A． B． C． D． 10．设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“好运”函数.给出下列函数: ①;②;③;④. 其中是“好运”函数的序号为 . A 。① ② B。① ③ C。 ③ D。 ② ④ 2、 填空题： （本大题共4小题，每小题5分 ，共20分。） 11．的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ． 12．已知M，N为平面区域内的两个动点 向量=（1，3）则的最大值是 13．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a－3）＝P（ξ＞a＋2），则a的值为______________. 14．研究问题：“已知关于的不等式的解集为（1，2），解关于的不等式”，有如下解法：由，令，则，所以不等式的解集为。类比上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 三、选作题：本小题5分。 15．（1）．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 。 （2）. 直线的参数方程是（其中为参数），圆的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 。 四、 解答题：本大题共6小题，共75分。 16．（本小题满分12分） 设函数. （Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式； （Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。 17. （本小题满分12分） 在xx年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响． (I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力． 18． (本小题满分12分) 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． (Ⅰ)求此几何体的体积； (Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值； (Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由． 19．（本小题满分12分） 已知函数，若存在使得恒成立，则称 是的一个“下界函数” ． (I)如果函数（t为实数）为的一个“下界函数”， 求t的取值范围； （II）设函数，试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由． 20. （本小题满分13分） 已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足． (Ⅰ)求点的轨迹的方程； (Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 21．（本小题满分14分） 　　已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且. 　　（1）求+的值及+的值 　　（2）已知，当时，+++，求； 　　（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、， 使得不等式成立，求和的值. 2019-2020年高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（八） 含答案 参考答案 三、选作题：本小题5分。 15.(1) ; 15.(2) 2 三、 解答题：本大题共6小题，共75分。 16.（本小题满分12分） 设函数. （Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式； （Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。 解（Ⅰ）， （2分） ∴. 由，得. 故函数的单调递减区间是. （6分） （2） . 当时，原函数的最大值与最小值的和， . （8分） （3） 由题意知 （10分） =1 （12分） 17. （本小题满分12分） 在xx年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响． (I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力． 解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， ∴考生甲正确完成题数的分布列为 ξ 1 2 3 P Eξ＝1＋2＋3＝2.（4分） 又η～B(3，)，其分布列为P(η＝k)＝C()k()3－k，k＝0，1，2，3；∴Eη＝np＝3＝2.（6分） (II)∵Dξ＝(2－1)2＋(2－2)2＋(2－3)2＝，Dη＝npq＝3＝，（8分）∴DξP(η≥2)．（10分） 从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．（12分） 18． (本小题满分12分) 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． (Ⅰ)求此几何体的体积； (Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值； (Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由． 解：（Ⅰ）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，， ，， 此几何体的体积为； 3分 解法一：（Ⅱ）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，，， ；即异面直线与所成角的余弦值为。 7分 （Ⅲ）在上存在点Q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点； 连接、，在和中， ，∽， ， ，，， ，，， 以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得； ，，，， ，； 12分 解法二：（Ⅰ）同上。 （Ⅱ）以为原点，以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，得，，，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。 （Ⅲ）设存在满足题设的点，其坐标为， 则，，， ， ①； 点在上，存在使得， 即，化简得， ②， ②代入①得，得，； 满足题设的点存在，其坐标为。 19．（本小题满分12分） 已知函数，若存在使得恒成立，则称 是的一个“下界函数” ． (I)如果函数（t为实数）为的一个“下界函数”， 求t的取值范围； （II）设函数，试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）恒成立，，， ……………2分 令，则， ……………4分 当时，，在上是减函数，当时，，在上是增函数， ……………6分 （Ⅱ）由（I）知，①， ， 令，则， …8分 则时，， 上是减函数，时，， 上是增函数， ②， 10分 ，①②中等号取到的条件不同，，函数不存在零点. …12分 20. （本小题满分13分） 已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足． (Ⅰ)求点的轨迹的方程； (Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 解：(Ⅰ) 椭圆右焦点的坐标为， ………(1分) ．， 由，得． ………… (2分) 设点的坐标为，由，有， 代入，得． ……… (4分) （Ⅱ）解法一：设直线的方程为，、， 则，． ………… (5分) 由，得， 同理得． …………(7分) ，，则． ……(8分) 由，得，． ……… (9分) 则． …………… (11分) 因此，的值是定值，且定值为． ……… (13分) 解法二：①当时， 、，则， ． 由 得点的坐标为，则． 由 得点的坐标为，则． ． …………… (6分) ②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． … (8分) 由，得，． …………(9分) 则． ………… (11分) 因此，的值是定值，且定值为． ………… (13分) 21.（本小题满分14分） 　　已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在 直线上，且. 　　（1）求+的值及+的值 　　（2）已知，当时，+++，求； 　　（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、， 使得不等式成立，求和的值. 解。　（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M. 　　　　　又＝，即，， 　　　　　∴+=1. 　　　　　① 当=时，=，+=； 　　　　　② 当时，， 　　+=+=== 　　　　　综合①②得，+. 3分 　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, + 　　　　　∴，k=. 　　　　　n≥2时，+++　，　　　　　 ① 　　　　　　，　　　 　　② 　　　　　①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.　　 　　　　　当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n. 7分