2019年高中数学 第二章 随机变量及其分布综合检测 新人教A版选修2-3.doc

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2019年高中数学 第二章 随机变量及其分布综合检测 新人教A版选修2-3 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为(　　) A．0.5分　　　　 B．－0.5分 C．1分 D．5分 【解析】　E(X)＝10＋(－11)＝－. 【答案】　B 2．一枚硬币连续掷3次，至少有一次出现正面的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　P(至少有一次出现正面)＝1－P(三次均为反面)＝1－()3＝. 【答案】　D 3．已知离散型随机变量X的分布列如下： X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望E(X)等于(　　) A．1　　　　 B．0.6　　　 C．2＋3m　　　 D．2.4 【解析】　由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝10.5＋30.3＋50.2＝2.4. 【答案】　D 4．已知随机变量X～B(6，)，则D(2X＋1)等于(　　) A．6 B．4 C．3 D．9 【解析】　D(2X＋1)＝D(X)22＝4D(X)， D(X)＝6(1－)＝，∴D(2X＋1)＝4＝6. 【答案】　A 5．(xx石家庄高二检测)某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为＝. 【答案】　A 6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　出现点数互不相同的共有65＝30种， 出现一个5点共有52＝10种， ∴P(B|A)＝＝. 【答案】　A 7．(xx宜昌高二检测)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝(　　) A．σ2 B．σ C．μ D．－μ 【解析】　在N(μ，σ2)中，图象关于直线X＝μ对称， ∴P(X≤μ)＝P(X>μ)＝，∴c＝μ. 【答案】　C 8．正态分布密度函数为f(x)＝ ，x∈R，则其标准差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】　根据f(x)＝ ，对比f(x)＝知σ＝2. 【答案】　B 9．(xx枣阳高二检测)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　P(A)＝，P(B)＝，所以事件A，B中至少有一件发生的概率为P＝1－(1－)(1－)＝1－＝. 【答案】　C 10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列： X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则利润的均值为(　　) A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 【解析】　∵E(X)＝2000.2＋3000.35＋4000.3＋5000.15＝340， ∴利润的均值为340(5－2.5)－(500－340)(2.5－1.6)＝706(元)． 【答案】　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________. 【解析】　P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝. 【答案】　 12．(xx宿州高二检测)某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________. 【解析】　因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝. 【答案】　 13．(xx郑州高二检测)A、B、C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB )＝，则P(B)＝________. 【解析】　设P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c， ∴解得 ∴P(B)＝(1－)＝. 【答案】　 14．(xx福州八县高二联考)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 其中所有正确结论的序号是________． 【解析】　①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B(6，)，其方差为6(1－)＝，故②正确； ③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}． 则P(A)＝，P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝，故③错； ④每次取到红球的概率P＝， 所以至少有一次取到红球的概率为 1－(1－)3＝， 故④正确． 【答案】　①②④ 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(xx课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单元：元)，求X的分布列及数学期望． 【解】　(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝＋＝. (2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝， 所以以X的分布列为 X 400 500 800 P EX＝400＋500＋800＝506.25. 16．(本小题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的分布列分别为： X 900 1 000 1 100 P 0.1 0.8 0.1 Y 950 1 000 1 050 P 0.3 0.4 0.3 试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？ 【解】　由期望的定义，得 E(X)＝9000.1＋1 0000.8＋1 1000.1＝1 000， E(Y)＝9500.3＋1 0000.4＋1 0500.3＝1 000. 两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差． 由方差的定义，得 D(X)＝(900－1 000)20.1＋(1 000－1 000)20.8＋(1 100－1 000)20.1＝2 000， D(Y)＝(950－1 000)20.3＋(1 000－1 000)20.4＋(1 050－1 000)20.3＝1 500. ∵D(X)＞D(Y)，∴乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定， 即乙厂生产的灯泡质量较好． 17．(本小题满分12分)(xx珠江高二检测)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，数学期望E(X)＝3，标准差为. (1)求n，p的值并写出X的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需补种，求需要补种沙柳的概率． 【解】　因为X～B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝. X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P (2)记“需要补种沙柳”为事件A， 则P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝＝(或P(A)＝1－P(X＞3)＝1－＝. 图1 18．(本小题满分14分)(xx四川高考)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生． (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分) 运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望． 【解】　(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝； 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝； 当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝. 所以输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为. (2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下： 输出y的值为1的频率 输出y的值 为2的频率 输出y的值 为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝C03＝， P(ξ＝1)＝C12＝， P(ξ＝2)＝C21＝， P(ξ＝3)＝C30＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以Eξ＝0＋1＋2＋3＝1. 即ξ的数学期望为1.