2019-2020年高考数学专题复习 第30讲 等比数列练习 新人教A版.doc

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2019-2020年高考数学专题复习 第30讲 等比数列练习 新人教A版 [考情展望]　1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用． 一、等比数列 证明{an}是等比数列的两种常用方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． 二、等比数列的性质 1．对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则aman＝apaq＝a. 2．通项公式的推广：an＝amqn－m(m，n∈N*) 3．公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列． 4．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{anbn}，(λ≠0)仍是等比数列． 等比数列的单调性 单调递增 a1＞0，q＞1或者a1＜0,0＜q＜1 单调递减 a1＞0,0＜q＜1或者a1＜0，q＞1 常数数列 a1≠0，q＝1 摆动数列 q＜0 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　) A．－　　　 B．－2　　　 C．2　　　 D. 【解析】　由题意知：q3＝＝，∴q＝. 【答案】　D 2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　) A．－11 B．－8 C．5 D．11 【解析】　8a2＋a5＝0，得8a2＝－a2q3，又a2≠0，∴q＝－2，则S5＝11a1，S2＝－a1，∴＝－11. 【答案】　A 3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】　由题意a＝a3a11＝16，且a7＞0，∴a7＝4， ∴a10＝a7q3＝423＝25，从而log2a10＝5. 【答案】　B 4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________. 【解析】　∵S3＝21，q＝4，∴＝21，∴a1＝1， ∴an＝4n－1. 【答案】　4n－1 5．(xx大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 【解析】　由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10). 【答案】　C 6．(xx江西高考)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 【解析】　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 【答案】　A 考向一 [090]　等比数列的基本运算 　(1)(xx北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______；前n项和Sn＝________. (2)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． ①求{an}的公比q；②若a1－a3＝3，求Sn. 【思路点拨】　建立关于a1与公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式． 【尝试解答】　(1)设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn. 设等比数例{an}的首项为a1，公比为q，则： 由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.① 由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.② 由①②解得q＝2，a1＝2. 故Sn＝＝＝2n＋1－2. 【答案】　2,2n＋1－2 (2)①∵S1，S3，S2成等差数列， ∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－. ②由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4， 从而Sn＝＝. 规律方法1　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用. 2.在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算. 对点训练　(1)(xx辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. (2)(xx晋州模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列． ①求数列{an}的通项公式； ②求数列{3an}的前n项和． 【解析】　(1)设数列{an}的首项为a1，公比为q， ∵a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1. ∴ 由①得a1＝q；由②知q＝2或q＝， 又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，从而an＝2n. 【答案】　2n (2)①设数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意得 a＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)． 又a1＝2，所以d＝2或d＝0(舍去)． ∴an＝2n. ②由①可知3an＝32n＝9n. 故数列{3an}的前n项和为＝(9n－1) 考向二 [091]　等比数列的判定与证明 　(xx荆州模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列． 【思路点拨】　正确设出等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问． 【尝试解答】　(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，(7－d)(18＋d)＝100， 解之得d＝2或d＝－13(舍去)， ∴b3＝5，公比q＝2，因此b1＝. 故bn＝2n－1＝52n－3. (2)证明　由(1)知b1＝，公比q＝2， ∴Sn＝＝52n－2－， 则Sn＋＝52n－2， 因此S1＋＝，＝＝2(n≥2)． ∴数列{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列． 规律方法2　1.本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d)的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算. 2.要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可. 对点训练　(1)在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________. (2)数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1，求证：数列{cn}是等比数列，并求{an}的通项公式． 【解析】　(1)由题意知－＝0， ∴an＝2an－1(n≥2)， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴Sn＝＝＝2n＋1－2. 【答案】　2n＋1－2 (2)证明　∵an＋Sn＝n，∴a1＋S1＝1，得a1＝， ∴c1＝a1－1＝－. 又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，an＋Sn＝n， ∴2an＋1－an＝1，即2(an＋1－1)＝an－1. 又∵a1－1＝－，∴＝，即＝， ∴数列{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列． 则cn＝－n－1＝－n， ∴{an}的通项公式an＝cn＋1＝1－n. 考向三 [092]　等比数列的性质及应用 　(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于(　　) A．1∶2　　 B．2∶3　　 C．3∶4　　 D．1∶3 (2)(xx衡水模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________. 【思路点拨】　(1)借助S3，S6－S3，S9－S6成等比求解． (2)应用等比数列的性质a7a10＝a8a9求解． 【尝试解答】　(1)由等比数列的性质：S3、S6－S3、S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3(S9－S6)， 将S6＝S3代入得＝. (2)法一　a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝a7a10＝－， ∴＋＋＋ ＝ ＝ ＝＝＝－. 法二　由题意可知 ①②得＝－， 即＋＋＋＝－， ∴＋＋＋＝－， 所以＋＋＋＝－. 【答案】　(1)C　(2)－ 规律方法3　在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq”，可以减少运算量，提高解题速度. 对点训练　(1)(xx课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　) A．7　　　　 B．5　　　　 C．－5　　　　 D．－7 (2)(xx大连模拟)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 【解析】　(1)由于a5a6＝a4a7＝－8，a4＋a7＝2， ∴a4，a7是方程x2－2x－8＝0的两根， 解之得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4. ∴q3＝－或q3＝－2. 当q3＝－时，a1＋a10＝＋a7q3＝4(－2)＋(－2)(－)＝－7， 当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a7q3＝＋4(－2)＝－7. (2)∵a5a2n－5＝a＝22n，且an＞0， ∴an＝2n， ∵a2n－1＝22n－1， ∴log2a2n－1＝2n－1， ∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝＝n2. 【答案】　(1)D　(2)C 　 思想方法之十三　分类讨论思想在等比数列求和中的应用 分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行． 在数列的学习中，也有多处知识涉及到分类讨论思想 ，具体如下所示： (1)前n项和Sn与其通项an的关系：an＝ (2)等比数列的公比q是否为1； (3)在利用公式Sn求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等． 求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解． ———　[1个示范例]　————　[1个对点练]　———— 　(xx天津高考)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 【解】　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5， 即4a5＝a3，于是q2＝＝. 又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－. 故等比数列{an}的通项公式为 an＝n－1＝(－1)n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n＝ 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1＝，故0＜Sn－≤S1－＝－＝. 当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn＜1，故0＞Sn－≥S2－＝－＝－. 所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－. (xx青岛模拟)已知数列{dn}满足dn＝n，等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，n∈N*. (1)求an； (2)令cn＝1－(－1)nan，不等式ck≥xx(1≤k≤100，k∈N*)的解集为M，求所有dk＋ak(k∈M)的和． 【解】　(1)设{an}的首项为a1，公比为q，所以(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝q， 又因为2(an＋an＋2)＝5an＋1，所以2(an＋anq2)＝5anq， 则2(1＋q2)＝5q,2q2－5q＋2＝0，解得q＝(舍)或q＝2，所以an＝22n－1＝2n. (2)cn＝1－(－1)nan＝1－(－2)n，dn＝n， 当n为偶数，cn＝1－2n≥2 014，即2n≤－2 013，不成立； 当n为奇数，cn＝1＋2n≥2 014，即2n≥2 013， 因为210＝1 024,211＝2 048，所以n＝2m＋1,5≤m≤49， 则{dk}组成首项为11，公差为2的等差数列， {ak}(k∈M)组成首项为211，公比为4的等比数列， 则所有dk＋ak(k∈M)的和为 ＋＝2 475＋＝.