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2019-2020年高中数学 综合素质检测1 北师大版选修1-1
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题是真命题的是( )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x
1”是“<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] a>1⇒<1，<1a>1，故选A.
3．“若a⊥α，则a垂直于α内任一条直线”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．不是命题 D．假命题
[答案] A
[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．
4．“B＝60”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．充要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 在△ABC中，若B＝60，则A＋C＝120，
∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；
若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180，∴3B＝180，B＝60.
5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
6．(xx辽宁理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab＝0，bc＝0，则ac＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A．p或q B．p且q
C．(p)且(q) D．p或(q)
[答案] A
[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，ab＝0，bc＝0，但ac≠0，∴命题p为假命题；
∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，
∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．
∴p或q为真命题．
7．有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] “若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；
“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；
若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；
“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．
8．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：x2<1是x1，∴Δ＝4－4a<0，∴x2＋2x＋a>0恒成立，∴p为真命题；
由x2<1得－10；
对于命题q，对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若命题q为真命题，则m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题q为假命题，则m<－2或m>2.
因为p∨(q)为假命题，所以命题p为假命题且命题q为真命题，则有，得00
13．在平面直角坐标系中，点(2m＋3－m2，)在第四象限的充要条件是________．
[答案] －14x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，故x>1；
③命题“若a>b>0，且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直”的充分不必要条件．
其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．
[答案] ①②③
[解析] ①中，x2＋2x>4x－3⇔x2－2x＋3>0⇔(x－1)2＋2>0，故①正确．
②中，显然x≠1且x>0，若01，故②正确
③中，命题“若a>b>0，且c<0，则>”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．
④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直的充要条件，故④不正确．
15．在下列所示电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；
(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；
(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；
(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件．
[答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要
[解析] (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件．(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件．(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件．(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件．
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”
[答案] 逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)∀x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4)∃x0∈Z，log2x0>2.
[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题
[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．
(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．
18．指出下列各题中，p是q的什么条件．
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形．
[答案] (1)p是q的必要不充分条件 (2)p是q的既不充分也不必要条件
[解析] (1)p是q的必要不充分条件．这是因为：若(x－2)(x－3)＝0，则x－2＝0或x－3＝0，即(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，而由x－2＝0可以推出(x－2)(x－3)＝0.
(2)p是q的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形四边形的对角线相等．
19．对于下列命题p，写出p的命题形式，并判断p命题的真假：
(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；
(2)p：有一个素数是偶数；
(3)p：任意正整数都是质数或合数；
(4)p：一个三角形有且仅有一个外接圆．
[答案] (1)(2)(4)p为假命题 (3)p为真命题
[解析] (1)p：91∉A或91∉B；假命题．
(2)p：所有素数都不是偶数；假命题．
(3)p：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．
(4)p：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．
20．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
[答案] [2,4]
[解析] 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴p：x<1或x>5.
q：m－1≤x≤m＋1，
∴q：xm＋1.
又∵p是q的充分而不必要条件，
∴，∴2≤m≤4.
经检验m＝2，m＝4适合条件，即实数m的取值范围为2≤m≤4.
∴m的取值范围为[2,4]．
21．(xx马鞍山二中期中)设命题p：f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立，若(p)且q为真，试求实数m的取值范围．
[答案] m>1
[解析] 对命题p：x－m≠0，又x∈(1，＋∞)，故m≤1，
对命题q：|x1－x2|＝＝对a∈[－1,1]有≤3，
∴m2＋5m－3≥3⇒m≥1或m≤－6.
若(p)且q为真，则p假q真，
∴∴m>1.
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