2019-2020年高考数学一轮复习 8.7抛物线课时跟踪训练 文.doc

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2019-2020年高考数学一轮复习 8.7抛物线课时跟踪训练 文 一、选择题 1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：y2＝8x的焦点到准线的距离为p＝4，选C. 答案：C 2．(xx宁波质检)已知抛物线y2＝－8x的焦点与双曲线－y2＝1的一个焦点重合，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：因为抛物线y2＝－8x的焦点为(－2,0)，双曲线的左焦点为(－，0)，所以a2＝3，双曲线的离心率为e＝＝. 答案：A 3．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0， 设其直线方程为x＝ky＋， 则由得－ky－＝0， y1y2＝－1，＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－1＝－. 故选B. 答案：B 4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1||FP3| 解析：抛物线的准线方程为x＝－，由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C. 答案：C 5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线与该抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 解析：抛物线的准线方程为x＝－1，∴|AF|＝x1＋1， |BF|＝x2＋1， ∴y＋y＝4x1＋4x2＝4(|AF|＋|BF|)－8＝4|AB|－8. ∵|AB|的最小值为4(当AB⊥x轴时取得)， ∴y＋y的最小值为8. 答案：B 6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 解析：如图，由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60，∠FAH＝30， ∴∠PAF＝60. 又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|， ∴△PAF为等边三角形． 由|HF|＝4得|AF|＝8， ∴|PF|＝8.故选B. 答案：B 二、填空题 7．(xx河北唐山一模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝__________. 解析：∵y2＝4x，∴抛物线的准线为x＝－1，F(1,0)． 又A到抛物线准线的距离为4，∴xA＋1＝4，∴xA＝3. ∵xAxB＝＝1，∴xB＝.∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝. 答案： 8．(xx山东济南期末考试)已知定点Q(2，－1)，F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为__________． 解析：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|， ∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即需D，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y2＝4x得x＝，故P的坐标为，－1. 答案：，－1 9．(xx衡水月考)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝__________. 解析：经过第一象限的双曲线的渐近线为y＝x.抛物线的焦点为F0，，双曲线的右焦点为F2(2,0)．y′＝x，由题意知在Mx0，处的切线斜率为，即x0＝，所以x0＝p，点F0，，F2(2,0)，Mp，共线，所以＝，即p＝. 答案： 三、解答题 10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程； (2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 解析：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5， ∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x. (2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)． 又∵F(1,0)，∴kFA＝. ∵MN⊥FA，∴kMN＝－. 又FA的方程为y＝(x－1)， 故MN的方程为y－2＝－x，解方程组得x＝，y＝， ∴N的坐标为(，)． 11．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F为圆心的圆，交C的准线l于P，Q两点，与C在第一象限内的交点为M，且Q，F，M三点共线． (1)求直线QM的斜率； (2)若△MPQ的面积为8，求圆F的方程． 解：(1)如题图，设M，y0，由题意知F，0，因为Q，F，M三点共线，所以点Q，M关于点F对称，可得Qp－，－y0，因为点Q在准线l上，所以p－＝－，即y＝3p2. 所以M，p，Q－，－p， 所以直线QM的斜率为＝. (2)由(1)知∠QFO＝60，所以|QF|＝2p，|QP|＝2p，因为点M到直线l的距离与|MF|相等，又|MF|＝|QF|，所以|MF|＝2p，S△MPQ＝2p2p＝2p2＝8，故p＝2，所以圆F的方程为(x－1)2＋y2＝16. 12．已知抛物线方程x2＝4y，过点P(t，－4)作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B.求证：直线AB过定点(0,4)． 解：证明：设切点为A(x1，y1)、B(x2，y2)． 又y′＝x， 则切线PA的方程为y－y1＝x1(x－x1)， 即y＝x1x－y1， 切线PB的方程为y－y2＝x2(x－x2)， 即y＝x2x－y2， 由点P(t，－4)是切线PA，PB的交点可知： －4＝x1t－y1，－4＝x2t－y2， ∴过A、B两点的直线方程为－4＝tx－y， 即tx－y＋4＝0. ∴直线AB：tx－y＋4＝0过定点(0,4)．