2019年高考数学一轮总复习 第七章 立体几何阶段测试卷 文.doc
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2019年高考数学一轮总复习 第七章 立体几何阶段测试卷 文 一、 选择题(每小题5分，共60分) 1. (xx广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(B) A. 若l∥α，l∥β，则α∥β B. 若l⊥α，l⊥β，则α∥β C. 若l⊥α，l∥β，则α∥β D. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B. 2. 已知直线l与平面α成45角，直线m⊂α，若直线l在α内的射影与直线m也成45角，则l与m所成的角是(C) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 设l与m所成的角是β，则cos β＝cos 45cos 45，∴cos β＝，∴β＝60. 3. 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB ＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(D) A. 2 B. C. D. 1 连接AC交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，∵AB＝2，∴AC＝2，又CC1＝2，∴OH＝sin 45＝1. 4. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则直线AB与AA1所成角的余弦值为(D) A. B. C. D. 记BC的中点为D，该三棱柱的各棱长为a，直线AB与AA1所成的角是θ，则有A1D⊥平面ABC，且cos∠A1AD＝＝＝， cos θ＝cos∠A1ADcos∠BAD＝cos＝. 5. (xx潍坊模拟)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题： ①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则 α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确的命题是(B) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 由面面垂直的性质可知②③正确． 6. (xx郑州质检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(C) 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，故选C. 7. (xx烟台诊断)如图所示，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是 (A) A. B. C. 1 D. 由题意知三视图对应的几何体如图所示，故该几何体为正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即13－111＝，选A. 8. (xx石家庄模拟)已知正三棱锥P－ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为(D) A. 4π B. 12π C. D. 由正视图得到正三棱锥的侧棱长为4，由俯视图得到正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴正三棱锥的高为2，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为π.故选D. 9. (xx德州模拟)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是(C) ①l⊥m⇒α∥β；②l∥m⇒α⊥β；③α⊥β⇒l∥m；④α∥β⇒l⊥m. A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ ①α，β有可能相交，∴错误；②正确；③当α⊥β时，由l∥β或l⊂β，不一定有l∥m，∴错误；④正确．故选C. 10. 设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中假命题是(D) A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β B. 如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β C. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ D. 如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余 选项A，α内平行于α与β的交线的直线与β都是平行的，故为真命题；选项B是两个平面垂直的判定定理的逆否命题，故为真命题；选项C，设点M∈l，过M作γ的垂线m，根据两个平面垂直的性质定理，m⊂α，m⊂β，于是 m＝α∩β，∴m，l为同一直线，从而l⊥γ，故为真命题；选项D显然为假命题，故选D. 11. 如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(D) A. A1D B. AA1 C. A1D1 D. A1C1 连接B1D1，则易证直线A1C1⊥平面BDD1B1.而B1O⊂平面BDD1B1，故B1O⊥A1C1. 12. (xx南昌模拟)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 (C) A. B. 2π C. D. 3π 由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为＝，则AB＝3，过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S＝π＝，选C. 二、 填空题(每小题5分，共20分) 13. (xx江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为__4π__． 依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，∴2R＝2(R为球的半径)，∴R＝.∴球的体积V＝πR3＝4π. 14. (xx泰安质检)已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB＝8，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为__16__． 球心在矩形的射影为矩形对角线的交点．由题知矩形对角线长为＝2，∴棱锥的高为＝， ∴棱锥的体积为82＝16. 15. 将一个半径为5 cm的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架由三根细金属杆PA，PB，PC组成，它们两两成60角，球与金属杆PA，PB，PC的切点分别为A，B，C，则水晶球的球心到支架顶点P的距离是__5__cm. 如图所示，由已知条件可得三棱锥P－ABC是正四面体，球心O与正三角形ABC构成正三棱锥，且OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥PC，PA＝PB＝PC＝5，则PO＝＝＝＝＝5. 16. (xx安徽高考)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则__②④⑤__(写出所有正确结论的编号)． ①四面体ABCD每组对棱互相垂直； ②四面体ABCD每个面的面积相等； ③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180； ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互相垂直平分； ⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． ①错误，当AB＝4，AC＝3，AD＝3时，AC与BD不垂直；②正确，在△ABC与△CDA中，AB＝CD，AD＝BC，AC＝AC，故△ABC与△CDA全等，同理四面体的四个面都全等，故四面体ABCD每个面的面积相等；③错误，从正四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角，故其和为180；④正确，如图所示，若E，F，G，H是所在边的中点，则四边形EFGH为菱形，故EG与FH互相垂直平分，同理可得连接四面体ABCD的每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤正确，∵AD＝BC，AB＝CD，AC＝BD，∴从四面体ABCD的顶点A出发的三条棱的长可组成△BCD，同理可得从四面体ABCD的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 三、 解答题(共70分) 17. (10分)如图是三棱锥S－ABC的直观图与三视图，P为底面ABC内一点，PS与SA，SB，SC所成的角分别为α，β，γ.求cos2α＋cos2β＋cos2γ的值． 由三视图可知SA，SB，SC两两互相垂直，(2分) 以PS为体对角线构成一个长方体SDEF－TMPN，其中D，F，T分别在SA，SB，SC上． 设SD＝a，SF＝b，ST＝c， 则cos α＝，cos β＝，cos γ＝，且PS2＝a2＋b2＋c2，(6分) 则cos 2α＋cos2β＋cos2γ＝＝1.(10分) 18. (10分)(xx江南十校联考)如图①，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD＝3BC＝3，CE＝1.将△CDE沿CE折起得到四棱锥F－ABCE(如图②)，G是AF的中点． (1)求证：BG∥平面FCE； (2)当平面FCE⊥平面ABCE时，求三棱锥F－BEG的体积． ,①) ,②) (1)取EF的中点M，连接GM，MC，则GM綊AE， 又等腰梯形ABCD中，BC＝1，AD＝3，DE＝1，∴BC綊AE. ∴GM綊BC，∴四边形BCMG是平行四边形， ∴BG∥CM.(4分) 又CM⊂平面FCE，BG⊄平面FCE， ∴BG∥平面FCE.(5分) (2)∵平面FCE⊥平面ABCE，平面FCE∩平面ABCE＝ CE， EF⊂平面FCE，FE⊥CE，∴FE⊥平面ABCE.(7分) 又VF－BEG＝VB－GEF＝VB－AEF＝VF－ABE，(8分) S△ABE＝21＝1，∴VF－BEG＝11＝.(10分) 19. (12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)． (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？ (1)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积 V1＝Sh＝π4＝π(m3)．(2分) 若按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积 V2＝Sh＝π8＝96π(m3)．(4分) (2)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m．棱锥的母线长为l＝＝4(m)， 则仓库的表面积S1＝π84＝32π(m2)．(7分) 若按方案二，仓库的高变成8 m，棱锥的母线长为l＝＝10(m)． 则仓库的表面积S2＝π610＝60π(m2)．(10分) (3)∵V2>V1，S2
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