2019年高考数学总复习 第1节 坐标系素能提升演练 理（含解析）新人教版选修4-4.doc

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2019年高考数学总复习 第1节 坐标系素能提升演练 理（含解析）新人教版选修4-4 1．(xx陕西五校模拟)已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，则圆心C的一个极坐标为________． 解析：　极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，即(x－1)2＋(y－)2＝4，圆心为(1，)，其一个极坐标为. 2．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－2sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________． 解析：ρcos θ＝3　圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心坐标为(3，－)，因此过圆心与x轴垂直的直线方程为x＝3，其极坐标方程为ρcos θ＝3. 3．(xx汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________． 解析：2　圆的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心为C(0,2)，点A坐标即为(2，2)，故所求的距离为|AC|＝＝2. 4．在极坐标系中，已知两圆C1：ρ＝2cos θ和C2：ρ＝2sin θ，则过两圆圆心的直线的极坐标方程是________． 解析：ρcos θ＋ρsin θ＝1　两圆C1：ρ＝2cos θ和C2：ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为C1：(x－1)2＋y2＝1和C2：x2＋(y－1)2＝1，两圆圆心分别为(1,0)，(0,1)，过两圆圆心的直线方程为x＋y＝1，化为极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ＝1. 5．(xx韶关模拟)已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离是________． 解析：　圆的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，直线的直角坐标方程为y＋2x＝1，即2x＋y－1＝0.所以圆心到直线的距离d＝＝. 6．(xx湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________. 解析：　把曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程得x＋y＝1； 把曲线C2：ρ＝a(a>0)化成直角坐标方程得x2＋y2＝a2. ∵C1与C2的一个交点在极轴上 ∴x＋y＝1与x轴交点在C2上， 所以2＋0＝a2.又a>0，∴a＝. 7．(xx揭阳模拟)已知曲线C1：ρ＝2和曲线C2：ρcos＝，则C1上到C2的距离等于的点的个数为________． 解析：3　将方程ρ＝2与ρcos＝化为直角坐标方程得x2＋y2＝(2)2与x－y－2＝0，知C1为圆心在坐标原点，半径为2的圆，C2为直线，因圆心到直线x－y－2＝0的距离为，故满足条件的点的个数为3. 8．在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距离的最大值是________． 解析：8　把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cos θ＋sin θ)＝8化为直角坐标方程为x＋y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8. 9．在极坐标系中，定点A，点B在直线ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为________． 解析：　在直角坐标系中，点A坐标为(0，－2)，点B在直线x＋y＝0上，从而AB的最小值为点A到直线的距离，设过点A且与直线x＋y＝0垂直的直线方程为x－y＋c＝0，得c＝－2，由方程组得即点B坐标为，再转化为极坐标为. 10．(xx广州毕业班测试)在极坐标系中，已知点A，点P是曲线ρsin2 θ＝4cos θ上任一点，设点P到直线ρcos θ＋1＝0的距离为d，则|PA|＋d的最小值为________． 解析：　曲线ρsin2 θ＝4cos θ的化为直角坐标方程是y2＝4x，直线化为直角坐标方程是x＝－1.设抛物线的焦点为F，则点F(1,0)．由抛物线的定义可知d＝|PF|，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|.故当点P是直线AF与抛物线y2＝4x的交点时，|PA|＋d取得最小值．且(|PA|＋d)min＝|AF|＝＝. 11．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________． 解析：(－∞，0)∪(10，＋∞)　注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即>1，|m－5|>5，解得m<0或m>10.故m的范围为(－∞，0)∪(10，＋∞)． 12．(xx湛江模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P的极坐标为，过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________． 解析：　圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为＝1，∴k＝，即tan α＝.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为. 13. (xx江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． 解：在ρsin＝－中令θ＝0， 得ρ＝1， 所以圆C的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C经过点P， 所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 14．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解：圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为 ρ＝2cos θ， 设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)， ∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在点，半径为的圆． 15．(xx南京调研)在极坐标系中，求圆ρ＝4sin θ上的点到直线ρcos ＝3的距离的最大值． 解：在圆的极坐标方程两边同时乘以ρ得ρ2＝4ρsin θ， 化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4， 故圆的圆心坐标为(0,2)，半径为2. 将直线的极坐标方程ρcos ＝3化为直角坐标方程为x－y－6＝0， 所以圆的圆心到直线的距离为d＝＝3＞2，故直线与圆相离， 于是圆ρ＝4sin θ上的点到直线ρcos ＝3的距离的最大值为3＋2.16．(xx昆明模拟)已知曲线C的参数方程为，(θ是参数)，P是曲线C与y轴正半轴的交点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P与曲线C只有一个公共点的直线l的极坐标方程． 解：把曲线C的参数方程，(θ是参数)化为普通方程得(x－3)2＋y2＝25， ∴曲线C是圆心为P1(3,0)，半径等于5的圆． ∵P是曲线C与y轴正半轴的交点，∴P(0,4)． 根据已知得直线l是圆C经过点P的切线． ∵kPP1＝－，∴直线l的斜率k＝. ∴直线l的方程为3x－4y＋16＝0. ∴直线l的极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ＋16＝0. 17．在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为. (1)求圆C的极坐标方程； (2)P是圆C上一动点，点Q满足3＝，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程． 解：(1)设M(ρ，θ)是圆C上任一点，过点C作CH⊥OM于H点，则在Rt△COH中，OH＝OCcos∠COH. ∵∠COH＝∠＝， OH＝OM＝ρ，OC＝2， ∴ρ＝2cos， 即所求的圆C的极坐标方程为ρ＝4cos. (2)设点Q的极坐标为(ρ，θ)， ∵3＝， ∴P的极坐标为，代入圆C的极坐标方程得ρ＝4cos， 即ρ＝6cos θ＋6sin θ， ∴ρ2＝6ρcos θ＋6ρsin θ，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得x2＋y2＝6x＋6y， ∴点Q的轨迹的直角坐标方程为x2＋y2－6x－6y＝0. 18．(xx太原模拟)平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)在曲线C1：，(a>0，φ为参数)上．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝acos θ. (1)求曲线C2的普通方程； (2)已知点M，N的极坐标分别为(ρ1，θ)，，若点M，N都在曲线C1上，求＋的值． 解：(1)由点A(2,0)在曲线C1上得 ∵a>0，∴a＝2，∴ρ＝2cos θ， 由，得(x－1)2＋y2＝1， ∴曲线C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)得曲线C1： 消去参数φ得＋y2＝1. 由题意得点M，N的直角坐标分别为 (ρ1cos θ，ρ1sin θ)，. ∵点M，N在曲线C1上， ∴＋ρsin2 θ＝1，＋ρcos2 θ＝1， ∴＋＝＋＝.