2019年高考数学总复习 第9章 第6节 双曲线课时跟踪检测 理（含解析）新人教版.doc

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2019年高考数学总复习 第9章 第6节 双曲线课时跟踪检测 理（含解析）新人教版 1．(xx北京高考)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　) A．m>　 B．m≥1　　　 C．m>1　　 D．m>2 解析：选C　该双曲线离心率e＝，由已知＞，故m＞1，故选C. 2．(xx广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：选C　设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 由正弦定理得＝，由双曲线的标准方程和定义可知，A，C是双曲线的焦点，且b＝10，|c－a|＝8.所以＝＝.故选C. 3．(xx杭州质检)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线C的离心率为5，则cos∠PF2F1等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：选C　据题意可知PF1⊥PF2，设|PF1|＝n，|PF2|＝m，又由双曲线定义知m－n＝2a　①；由勾股定理可得m2＋n2＝4c2　②；又由离心率e＝＝5　③，由①②③解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝＝＝＝.故选C. 4．(2011山东高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　) A.－＝1　　　　 B.－＝1 C.－＝1　　　　 D.－＝1 解析：选A　由题意得－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝x，即bxay＝0，又圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，所以a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4.所以该双曲线的方程为－＝1.故选A. 5．(xx皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为(　　) A.　　　　 B. C．2　　　 D．5 解析：选D　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的性质和勾股定理得由①③得代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，两边同时除以a2，得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.又e＞1，所以e＝5.故选D. 6．(xx太原模拟)设F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．3x4y＝0 B．3x5y＝0 C．4x3y＝0　　　 D．5x4y＝0 解析：选C　设线段PF1的中点为M，由于|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义得4b－2c＝2a.所以2b－a＝c，所以(2b－a)2＝a2＋b2，化简得3b2－4ab＝0，所以3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝x，即4x3y＝0.选C. 7．(xx苏锡常镇调研)若双曲线x2－＝1(a＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为______． 解析：x2－＝1　双曲线x2－＝1(a＞0)的一个焦点(，0)到一条渐近线－y＝0的距离为＝，解得a＝3，故此双曲线方程为x2－＝1. 8．(xx陕西五校模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是______． 解析：(，＋∞)　双曲线的渐近线方程为y＝x.若双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则＞2，从而＞4.所以＞4，解得e2＝＞5，故e＞. 9．(xx茂名质检)设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________． 解析：　由条件知c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－，所以S＝(5－3)＝. 10．(xx湖南高考)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为________． 解析：　不妨设|PF1|＞|PF2|，由 得 由2a＜2c，得∠PF1F2＝30， 由余弦定理得cos 30＝， 整理得c2＋3a2－2ac＝0，所以e2－2e＋3＝0，解得e＝. 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)． (1)求双曲线方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：＝0； (3)求△F1MF2的面积． (1)解：由e＝知a＝b. 故设双曲线方程为x2－y2＝λ. ∵双曲线过点P(4，－)，∴16－10＝λ，解得λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2， ∴F1(－2，0)，F2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， ∴kMF1kMF2＝＝－. ∵点(3，m)在双曲线上， ∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2， ∴＝0. (3)解：在△F1MF2中|F1F2|＝4， 由(2)知m＝. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝， 从而S△F1MF2＝4＝6. 12．(xx泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且＝(＋)． (1)求直线AB的方程； (2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且＝0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？ 解：(1)由题意知直线AB的斜率存在． 设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2， 由消去y整理得 (2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根， 所以2－k2≠0且x1＋x2＝. ∵＝(＋)， ∴N是AB的中点，∴＝1， ∴k(2－k)＝－k2＋2，解得k＝1， 所以AB的方程为y＝x＋1. (2)将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3， 设A(－1,0)，B(3,4)． ∵＝0，∴CD垂直平分AB. ∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2， 即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0， 令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点为M(x0，y0)， 则x3＋x4＝－6，x3x4＝－11， ∴x0＝＝－3，∴y0＝6，故点M(－3,6)． ∵|CD|＝|x3－x4| ＝ ＝4， ∴|MC|＝|MD|＝|CD|＝2， 又|MA|＝|MB|＝2， ∴A，B，C，D到M的距离相等， ∴A，B，C，D四点共圆. 1．(xx辽宁五校联考)已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，P点的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＞0) C．x2－＝1(x＞0)　　　 D．x2－＝1(x＞1) 解析：选A　如图设过点P的两切线分别与圆切于S、T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故P点的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)．故选A. 2．(xx邯郸摸底考试)已知F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点为M，且有|MF1|＝c，则此双曲线的离心率为(　　) A.　　　　B. C．2　　　 D．2 解析：选D　因为F2关于渐近线的对称点为M，又由双曲线的几何性质知焦点到渐近线的距离为b，所以|MF2|＝2b，又|F1M|＝c，|F1F2|＝2c，由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2，c＝2a，e＝2.故选D. 3．(xx重庆质检)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且2a2＝3c.若双曲线C上的点P满足＝1，则||||的值为(　　) A．5 B．4 C．3　　　 D．2 解析：选C　由题意得，解得，所以b2＝c2－a2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.设||＝r1，||＝r2，不妨令r1＞r2＞0，∠F1PF2＝θ，∵＝1，∴r1r2cos θ＝1，又r1－r2＝2，∴r＋r－2r1r2＝12，∴r＋r＝2r1r2＋12，又由余弦定理得4c2＝r＋r－2r1r2cos θ，即16＝2r1r2＋12－2，∴r1r2＝3，即||||＝3.故选C. 4．(xx大纲全国高考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为. (1)求a、b； (2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列． (1)解：由题设知＝3，所以＝9，故b2＝8a2. 所以C的方程为8x2－y2＝8a2. 将y＝2代入上式，求得x＝ . 由题设知2 ＝，解得a2＝1. 所以a＝1，b＝2. (2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8. 设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜2， 由消去y整理得 (k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，且x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AF1|＝＝ ＝－(3x1＋1)， |BF1|＝＝＝3x2＋1. 由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1， 所以x1＋x2＝－，故＝－， 解得k2＝，从而x1x2＝－. 由于|AF2|＝＝ ＝1－3x1， |BF2|＝＝＝3x2－1， 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4， |AF2||BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2||BF2|＝|AB|2， 所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．