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2019-2020年高考数学大一轮总复习 第2篇 第11节 导数的简单应用课时训练 理 新人教A版
一、选择题
1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
解析：y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)，
由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3
t，x∈(x1，x2)时恒成立，故e＋1>t.
答案：(－∞，e＋1)
8．(xx福建厦门外国语学校高三模拟)若函数f(x)＝x4－ax3＋x2－2有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围________．
解析：f′(x)＝4x3－3ax2＋2x＝x(4x2－3ax＋2)，函数f(x)＝x4－ax3＋x2－2有且只有一个极值点的充要条件是9a2－32≤0，
解得－≤a≤.
答案：－，
9．(xx郑州模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，
根据已知＝2，
得a＝3，
即f(x)＝－x3＋3x2－4.
根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1,1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(x)＝－3n2＋6n在[－1,1]上单调递增，
所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9.
[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.
答案：－13
10．函数f(x)＝的单调递增区间是________．
解析：f′(x)＝
＝>0，
即cos x>－，
结合三角函数图象或是单位圆中的三角函数线知道，2kπ－0)，
当a>0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．
(2)由(1)得f′(2)＝－＝1，
即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，
∴g(x)＝x3＋＋2x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)内总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t,3)内有变号零点．
由于g′(0)＝－2，
∴
当g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′(0)<0，
故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，
即m<－9；
由g′(3)>0，
即m>－.
所以－0.
①当2a＋1≤0，即a≤－时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增；
②当0<2a＋1<1，即－1，即a>0时，函数f(x)在(1,2a＋1)上单调递减，在(0,1)，(2a＋1，＋∞)上单调递增．
(2)根据(1)，当a∈，时，函数f(x)在[1,2]上单调递减．
若x1＝x2，则不等式|f(x1)－f(x2)|≤λ－对任意正数λ恒成立，此时λ∈(0，＋∞)．
若x1≠x2，不妨设1≤x1f(x2)，>，
原不等式即f(x1)－f(x2)≤λ－，
即f(x1)－≤f(x2)－对任意的a∈，，x1，x2∈[1,2]恒成立．
设g(x)＝f(x)－，问题即对任意的a∈，，x1，x2∈[1,2]不等式g(x1)≤g(x2)恒成立，问题等价于函数g(x)在[1,2]上为增函数，
故g′(x)≥0对任意a∈，，x∈[1,2]恒成立．
g′(x)＝x－(2a＋2)＋＋≥0，
即x3－(2a＋2)x2＋(2a＋1)x＋λ≥0，
即(2x－2x2)a＋x3－2x2＋x＋λ≥0，
对任意a∈，恒成立．
由于x∈[1,2]，2x－2x2<0，
故只要(2x－2x2)＋x3－2x2＋x＋λ≥0，
即x3－7x2＋6x＋λ≥0对任意x∈[1,2]恒成立．
令h(x)＝x3－7x2＋6x＋λ，h′(x)＝3x2－14x＋6<0恒成立，
故函数h(x)在区间[1,2]上是减函数，
所以h(x)min＝h(2)＝λ－8，
只要λ－8≥0即可，
即得λ≥8，
故实数λ的取值范围是[8，＋∞)．
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