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2019年高考数学总复习 第七章 解三角形课时检测
第1讲 正弦定理和余弦定理
1．(xx年上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B
b，则∠B＝( )
A. B. C. D.
4. (xx年安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝( )
A. B.
C. D.
5．(xx年重庆)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB＝________.
6．(xx年陕西)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a＝2，B＝，c＝2 ，则b＝________.
7．(xx年安徽)设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是________．
①若ab>c2，则C<；
②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<；
④若(a＋b)c<2ab，则C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.
8．(xx年安徽)设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，点D为BC的中点，求AD的长．
9．(xx年大纲)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A的大小．
10．(xx年浙江)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．
第2讲 解三角形应用举例
1．某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为( )
A. B．2
C．2 或 D．3
2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为( )km.( )
A．a B.a C．2a D.a
3．(xx年湖南)在△ABC中，若AC＝，BC＝2，B＝60，则BC边上的高等于( )
A. B.
C. D.
4．如图K721，一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是( )
图K721
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
5．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为( )
A．1 B．2sin10
C．2cos10 D．cos20
6．(xx年四川)如图K722，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝( )
图K722
A. B. C. D.
7．(xx年湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
8．(xx年福建)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．
9．如图K723，甲船以30 海里/时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 海里．问：乙船的速度是多少海里/时？
图K723
10．(xx年重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2＋ab.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
第七章 解三角形
第1讲 正弦定理和余弦定理
1．A 解析：由正弦定理，得a2＋b2b，A>B, 所以B＝.
4．B 解析：b＋c＝2a，＝＝，a＝b，c＝b，
cosC＝＝＝＝－，C＝π.
5. 解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－212＝4，则c＝2，即B＝C，故sinB＝＝.
6．2 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝4，∴b＝2.
7．①②③ 解析：①ab>c2⇒cosC＝>＝⇒C<.
②a＋b>2c⇒cosC＝＝>≥⇒C<.
③当C≥时，c2≥a2＋b2⇒c3≥a2c＋b2c>a3＋b3与a3＋b3＝c3矛盾．
④取a＝b＝2，c＝1满足(a＋b)c<2ab，得C<.
⑤取a＝b＝2，c＝1满足(a2＋b2)c2<2a2b2，得C<.
8．解：(1)A＋C＝π－B，A，B∈(0，π)⇒sin(A＋C)＝sinB>0，
2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB⇔cosA＝⇔A＝.
(2)a2＝b2＋c2－2bccosA⇔a＝⇒b2＝a2＋c2⇒B＝.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝.
9．解：由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，故3B＝π⇒B＝，且C＝－A.
∵2b2＝3ac，∴2sin2B＝3sinAsinC⇒2sin2＝3sinsinA.
∴2＝3sinA⇒cosAsinA＋sin2A＝1⇒sin2A＋＝1⇒sin＝，
由00，∴c＝3.
设BC边上的高为h，由三角形的面积公式得
S△ABC＝ABBCsinB＝BCh.
即32sin60＝2h，解得h＝.
4．A 解析：在△ABC中，∠BAC＝30，∠ABC＝105，AB＝20，∠ACB＝45.
由正弦定理，得＝，解得BC＝10 .故选A.
5．C 解析：如图D62，BD＝1，∠DBC＝20，∠DAC＝10.
图D62
在△ABD中，由正弦定理，得＝.
解得AD＝2cos10.
6．B 解析：EB＝EA＋AB＝2，
EC＝＝＝，
∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝.
由正弦定理，得＝
则sin∠CED＝sin135＝.
7．D 解析：∵a，b，c为连续的三个正整数，且A>B>C，可得a>b>c，∴a＝c＋2，b＝c＋1. ①
又∵3b＝20acosA.∴cosA＝. ②
由余弦定理，得cosA＝. ③
由②③，得＝， ④
联立①④，得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－(舍去)．
∴由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.
8．－ 解析：设最小边长为a，则另两边长为a,2a.
故最大角的余弦cosα＝＝－.
9．解：如图D63，连接A1B2，A2B2＝10 ，
图D63
A1A2＝30 ＝10 ，∴A1A2＝A2B2.
又∠A1A2B2＝180－120＝60，
∴A1B2＝A1A2＝10 .A1B1＝20，
∠B1A1B2＝105－60＝45.
在△A1B2B1中，由余弦定理，得
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos45
＝202＋(10 )2－22010 ＝200，
∴B1B2＝10 .
因此，乙船的速度为60＝30 (海里/时)．
10．解：(1)由余弦定理，得cosA＝＝＝－，
∵A为三角形的内角，∴A＝.
(2)由(1)得sinA＝，
由正弦定理，得b＝，csinA＝asinC及a＝，
∴S＝bcsinA＝asinC＝3sinBsinC，
则S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)，
则当B－C＝0，即当B＝C＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值为3.
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