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2019-2020年高中数学 课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用 新人教版必修5
1．已知方程x2sinA＋2xsinB＋sinC＝0有重根，则△ABC的三边a、b、c满足关系式( )
A．b＝ac B．b2＝ac
C．a＝b＝c D．c＝ab
答案 B
解析 由Δ＝0，得4sin2B－4sinAsinC＝0，结合正弦定理得b2＝ac.
2．在△ABC中，已知A＝30，且3a＝b＝12，则c的值为( )
A．4 B．8
C．4或8 D．无解
答案 C
解析 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用正弦定理可得B为60或120，从而解出c的值．
3．在△ABC中，A＝60，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为( )
A. B．3
C. D．7
答案 A
解析 由S△ABC＝，得ABACsinA＝.
即2AC＝，∴AC＝1，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA＝22＋12－221＝3.∴BC＝.
4．在△ABC中，2acosB＝c，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 方法一 由余弦定理，得2a＝c.所以a2＋c2－b2＝c2.则a＝b.则△ABC是等腰三角形．
方法二 由正弦定理，得22RsinAcosB＝2RsinC，即2sinAcosB＝sinC.又sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB，所以sin(A＋B)＋sin(A－B)＝sinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sinC.所以sin(A－B)＝0.又0
0，得x>4.
若x最大，则32＋52－x2>0，得0b，则∠B＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 根据正弦定理，得asinBcosC＋csinBcosA＝b等价于sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝.
又a>b，∴∠A＋∠C＝，∴∠B＝.故选A项．
2．(xx北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.
答案 4
解析 由余弦定理，得cosB＝＝＝－，解得b＝4.
3．(2011湖北)设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
答案
解析 ∵由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理，可得a2＋b2－c2＝－ab.
∴cosC＝＝＝－，∴C＝.
4．(xx北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cosA的值；
(2)若c的值．
解析 (1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝.
所以＝.故cosA＝.
(2)由(1)知，cosA＝，所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝.
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
5．(xx江西)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－sinA)cosB＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解析 (1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－sinAcosB＝0，即有sinAsinB－sinAcosB＝0.
因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0.
又cosB≠0，所以tanB＝，又0b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－25c(－)，解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的投影为||cosB＝.
7．(xx重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
解析 (1)由余弦定理，得
cosA＝＝＝－.
又因00，cosB>0.
所以tanB＝3tanA.
(2)因为cosC＝，00，故tanA＝1，所以A＝.
7．在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2.设内角B＝x，周长为y.
(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值．
解析 (1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π.
由A＝，B>0，C>0，得0
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