2019年高中数学 第三章 章末总结 新人教A版选修1-1.doc

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2019年高中数学 第三章 章末总结 新人教A版选修1-1 知识点一　导数与曲线的切线 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ① 又y1＝f(x1) ② 由①②求出x1，y1的值． 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 例1　已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程． 知识点二　导数与函数的单调性 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求导数f′(x)； (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 例2　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝＋sin x； (2)f(x)＝x(x－a)2. 知识点三　导数与函数的极值、最值 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用． 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值； 特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 例3　设0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意． 例4　已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围． 例5　已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)0， 解得2kπ－0时，x1x2， ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，， 单调递减区间为. ③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是增加的． 例3　解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0， 得x1＝0，x2＝a. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0，a) a (a,1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －1－a＋b  b －＋b 1－a＋b 从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b.所以b＝1. 又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0， 所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a， 所以－a＝－，所以a＝. 例4　解　f′(x)＝2x－＝. 要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立， 即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立． ∵x2>0，∴2x3－a≥0， ∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的， ∴(2x3)min＝16，∴a≤16. 当a＝16时，f′(x)＝≥0 (x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是a≤16. 例5　解　∵f(x)＝x3－x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2. 令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0， ∴x＝1或x＝－. 当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(1,2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 所以，当x＝－时，f(x)取得极大值f＝； 当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝. 又f(－1)＝，f(2)＝7， 因此，f(x)在[－1,2]上的最大值为f(2)＝7. 要使f(x)7. 所以，所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．