2019-2020年高考数学 2.8 函数与方程练习.doc

《2019-2020年高考数学 2.8 函数与方程练习.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020年高考数学 2.8 函数与方程练习.doc（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

2019-2020年高考数学 2.8 函数与方程练习 (25分钟　50分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是(　　) A.(0,1)　　　 B.(1,2)　　 C.(2,3)　　 　D.(3,4) 【解析】选B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)- 的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),结合四个选项可知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是(1,2). 2.(xx天津模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(　　) A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-1,3)和(4,+∞) 【解析】选A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=,a>0,再根据f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4). 3.(xx合肥模拟)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.3 D.2 【解析】选D.转化为判断y=log2x与y=x-2两函数图象的交点的个数,作图象如下: 图象有两个交点,因此函数零点个数为2个. 4.(xx湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(　　) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3} 【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R上的奇函数,求出函数在R上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数的零点就是方程的解,问题得以解决. 【解析】选D.由f(x)是定义在R上的奇函数, 当x≥0时,f(x)=x2-3x, 所以f(x)= 所以g(x)= 由解得x1=3,x2=1, 由解得x=-2-,故选D. 5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(　　) A.x20时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为　　　　　. 【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x在区间(0,)内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3. 答案:3 8.函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=　　　　　. 【解析】求函数f(x)=3x-7+ln x的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)=-1+ln 2,由于ln 21,所以f(3)>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2. 答案:2 【加固训练】若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(-1,0) D.(-∞,-1) 【解析】选A.令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分01两种情况,在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数f(x)=ax-x-a有两个不同的零点,则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点,根据画出的图象只有当a>1时符合题目要求. 三、解答题 9.(10分)已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a: (1)判断命题:“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程. (2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围. 【解析】(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题; 依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根, 因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根. (2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点, 只需即 解得:. 故实数a的取值范围为. 【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧 对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用. 【加固训练】1.是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由. 【解析】因为Δ=(3a-2)2-4(a-1)= +>0,所以若存在实数a满足条件, 则只需f(-1)f(3)≤0即可.f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1. 检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1. ②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0, 解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-. 综上所述,a的取值范围是(-∞,-)∪(1,+∞). 2.已知函数f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 【解析】因为f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m2x+1=0仅有一个实根. 设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0. 当Δ=0时,即m2-4=0,m=2, 所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去). 所以2x=1,x=0符合题意. 当Δ>0时,即m>2或m<-2时, t2+mt+1=0有两正或两负根, 即f(x)有两个零点或没有零点. 所以这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0. (20分钟　40分) 1.(5分)(xx长沙模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是(　　) A. B.(1,2) C. D.(2,3) 【解析】选C.由图象可知 故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1), 所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点为函数y=ln x与函数y=-f′(x)=-2x-a交点的横坐标,分析两函数图象得函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是. 2.(5分)(xx石家庄模拟)设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.函数f(x)=的图象如图, 不妨设x10,且函数f(x)满足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5个根,则实数m的取值范围是　　　　. 【解题提示】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=与第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据Δ可求得m的范围. 【解析】因为当x∈(-1,1]时,将函数化为方程x2+ =1(y≥0), 所以实质上为一个半椭圆, 同时在坐标系中作出当x∈(1,3]时的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,如图, 由图易知直线y=与第二个半椭圆(x-4)2+=1(y≥0)相交, 而与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y≥0)无公共点时,方程恰有5个实数根, 将y=代入(x-4)2+=1(y≥0)得,(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0), 则(t+1)x2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-415t(t+1)>0,得t>15,由9m2>15,且m>0得m>, 同样由y=与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y≥0)联立所得方程Δ<0可计算得m<, 综上可知m∈. 答案: 4.(12分)(xx郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x. (1)写出函数y=f(x)的解析式. (2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围. 【解析】(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞). 因为y=f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x, 所以f(x)= (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, 最小值为-1; 当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1. 所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1). 5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). (1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围. (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 【解析】(1)因为x>0时g(x)=x+≥=2e, 等号成立的条件是x=e, 故g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点. 所以m的取值范围是[2e,+∞). 【一题多解】本题(1)还可以采用如下解法: 作出g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图: 可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e. 所以m的取值范围是[2e,+∞). (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点, 作出g(x)=x+ (x>0)的大致图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).