2019年高考数学一轮总复习 步骤规范练 数列 理 苏教版.doc

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2019年高考数学一轮总复习 步骤规范练 数列 理 苏教版 一、填空题 1．(xx济南模拟)在等差数列{an}中，a2＋a8＝4，则它的前9项和S9＝________. 解析　在等差数列中，a2＋a8＝a1＋a9＝4，所以S9＝＝＝18. 答案　18 2．(xx广州模拟)已知数列{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝________. 解析　在等差数列中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，所以解得d＝2. 答案　2 3．(xx重庆卷)若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________. 解析　因为2，a，b，c,9成等差数列，所以9＝2＋4d，即公差d＝，所以c－a＝2d＝2＝. 答案　 4．(xx辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝______. 解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq， 化简得2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2. 答案　2 5．(xx扬州模拟)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________. 解析　∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)， ∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝或－1(舍去)． 答案　 6．(xx镇江模拟)已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，则|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝________. 解析　由a2a4＝a＝16，解得a3＝4，又a1＝1， ∴q2＝4，∴q＝2，∴an＝2n－1，令2n－1≥12，解得n的最小值为5. ∴|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝12－a1＋12－a2＋12－a3＋12－a4＋a5－12＋a6－12＋a7－12＋a8－12 ＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8) ＝－15＋240＝225. 答案　225 7．(xx长春模拟)在等差数列{an}中，a7＝，则tan(a6＋a7＋a8)等于________． 解析　在等差数列中a6＋a7＋a8＝3a7＝， 所以tan(a6＋a7＋a8)＝tan＝－1. 答案　－1 8．(xx安徽望江中学模拟)设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝________. 解析　由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a1＋5d＝0，即a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大． 答案　5或6 9．(xx荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________． 解析　设数列{an}为该等差数列，依题意得a1＋an＝＝70.∵Sn＝＝210，∴210＝，∴n＝6. 答案　6 10．(xx河南三市调研)在公差不为0的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________. 解析　因为{an}是等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以2a3－a＋2a11＝4a7－a＝0，解得a7＝0或4，因为{bn}为等比数列，所以bn≠0，所以b7＝a7＝4，b6b8＝b＝16. 答案　16 11．(xx西安五校联考)已知a1，a2, a3，a4是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q＝________. 解析　由题意知a1＞0，q＞0，若删去a1，得2a1q2＝a1q＋a1q3，解得q＝1(舍去)；若删去a2，得2a1q2＝a1＋a1q3，即(q－1)(q2－q－1)＝0，解得q＝；若删去a3，得2a1q＝a1＋a1q3，即(q－1)(q2＋q－1)＝0，解得q＝；若删去a4，得2a1q＝a1＋a1q2，解得q＝1(舍去)，综上可得q＝或q＝. 答案　或 12．(xx皖南八校模拟)已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图象过点(2,8)，则a7的值为________． 解析　由题意知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1时其图象过点(2,8)，∴a122＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列，an＝＋，得a7＝5. 答案　5 13．(xx成都一模)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________. 解析　设每节竹竿的长度对应的数列为{an}，公差为d，(d＞0)． 由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an. 由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38， ∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16. 答案　16 14．(xx南通模拟)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥1，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列； ②{(－1)n}是等方差数列； ③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)． 解析　①正确，因为a－a＝p，所以a－a＝－p，于是数列{a}为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，因为a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列． 答案　①②③ 二、解答题 15．(xx陕西卷)设Sn表示数列{an}的前n项和． (1)若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式； (2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数列． 解　(1)设公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an， 又Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 两式相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an－1＋a2)＋(an＋a1)， ∴Sn＝＝na1＋d. (2)数列{an}是等比数列，证明如下： ∵Sn＝， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn. ∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有＝＝q. 因此，{an}是首项为1且公比为q(q≠0)的等比数列． 16．(xx浙江五校联考)已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}的通项公式bn. 解　(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2. 又q≠0，解得q＝2，∴an＝2n－1. (2)当n＝1时，b1＝a1＝1； 当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝， ∴bn＝ 17．(xx山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d 由 即 得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N* ① 当n≥2时，＋＋…＋＝1－ ② ①－②得：＝，又当n＝1时，＝也符合上式， 所以＝(n∈N*)，由(1)知an＝2n－1(n∈N*) 所以bn＝(n∈N*)． 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝＋＋＋…＋. Tn＝＋＋…＋＋. 两式相减得： Tn＝＋－ ＝－－. 所以Tn＝3－. 18．(xx广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14构成等比数列． (1)证明：a2＝； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<. (1)证明　当n＝1时，4a1＝a－5，a＝4a1＋5， 又an>0，∴a2＝. (2)解　当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1， ∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4， 即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2， 又an>0，∴an＋1＝an＋2， ∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列． 又a2，a5，a14成等比数列． ∴a＝a2a14，即(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3. 由(1)知a1＝1. 又a2－a1＝3－1＝2， ∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (3)证明　由(2)知＝ ＝ 所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ＝ ＝<.