2019-2020年高考《考试大纲》调研卷理科数学（第七模拟）含解析.doc

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2019-2020年高考《考试大纲》调研卷理科数学（第七模拟）含解析 一、填空题：共14题 1．若集合A={x|-1≤x≤1},B={x|y=},则A∪B=　　　　. 【答案】{x|x≥-1} 【解析】本题主要考查集合的概念、并运算,属于基础题.先求出集合B,再进行并运算即可.由y=得x≥0,∴B={x|x≥0},故A∪B={x|x≥-1}. 2．已知复数z1=3+i,z2=1-2i,则的模为　　　　. 【答案】 【解析】本题主要考查共轭复数、复数的除法运算、复数的模,考查考生对基础知识的掌握情况.解题的关键是熟悉复数的除法运算法则,即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.　 由题意得,,故||=||=. 3．在竞选2022年冬奥会的举办国时,若投票人中有女性8位,男性12位,现用分层抽样的方法从这20位投票人中抽取5位,则抽到的女性人数为　　　　. 【答案】2 【解析】本题主要考查统计中的分层抽样知识,考查考生运用所学知识解决相关实际问题的能力.求解时,根据分层抽样的知识列式计算.设抽到的女性人数为x,由题意,结合分层抽样可得,,∴x=2. 4．执行如图所示的流程图,若输出的结果为1,则输入的实数x的值为　　　　. 【答案】2或-2 【解析】本题考查选择结构的流程图、简单的对数运算等知识,考查考生的运算求解能力.解决此类问题的关键是明确流程图的算法功能及其结构类型.根据流程图可知,若x>1,则由log2x=1,得x=2;若x≤1,则由x3+9=1,得x=-2.综上,实数x的值为2或-2. 【备注】流程图是算法的直观表示,是算法转化为程序的媒介,它的趣味性、实用性倍受高考的青睐,且流程图与其他知识之间有较强的联系,例如与统计、数列、函数(分段函数为主)等之间都有一定的联系,因此算法知识与其他知识的结合将是高考的热点,也恰恰体现了算法的普遍性、工具性. 5．已知f(x)=,则f(-2)=　　　　. 【答案】37 【解析】本题主要考查分段函数求值,考查考生对基础知识的理解和基本的计算能力.由分段函数的解析式可知,f(-2)=f(1)=f(4)=f(7)=47+9=37. 6．已知在等比数列{an}中,a1+a2=3,a5+a6=12,则a9+a10=　　　　. 【答案】48 【解析】本题主要考查等比数列的性质等,考查考生的运算求解能力.可用等比数列的通项公式列出方程组求解;也可根据a1+a2,a5+a6,a9+a10成等比数列求解. 通解　设等比数列{an}的公比为q,则由已知得a1+a1q=3且a1q4+a1q5=12,两式相除得q4=4,故a9+a10=a1q8+a1q9=q4(a1q4+a1q5)=412=48. 优解　根据等比数列的性质知,a1+a2,a5+a6,a9+a10也成等比数列,故=(a1+a2)(a9+a10),即122=3(a9+a10),所以a9+a10=48. 7．xx年高考填报志愿时,甲、乙两人约定从2所“985”重点大学、4所一般重点大学中选1所填报,且每人只报1所,则他们报同一类重点大学的概率为　　　　. 【答案】 【解析】本题是古典概型问题,解答本题的关键是用列举法得到基本事件总数及满足条件的基本事件数.设2所“985” 重点大学分别用1,2表示,4所一般重点大学分别用a,b,c,d表示, 则甲、乙两人填报志愿的所有情况有:11,12,1a,1b,1c,1d,21,22,2a,2b,2c,2d,a1,a2,aa,ab,ac,ad,b1,b2,ba,bb,bc,bd,c1,c2,ca,cb,cc,cd,d1,d2,da,db,dc,dd,共36种.记“甲、乙两人报同一类重点大学”为事件A,则事件A所包含的情况有:11,12,21,22,aa,ab,ac,ad,ba,bb,bc,bd,ca,cb,cc,cd,da,db,dc,dd,共20种.故他们报同一类重点大学的概率P(A)=. 8．已知函数f(x)=sin(ωx+)cos(ωx-)-(0<ω<1)的图象关于直线x=对称,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　. 【答案】f(x)=cos(x-) 【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换等知识,考查考生的运算求解能力.先利用三角恒等变换对f(x)进行化简,再结合三角函数的图象与性质即可求得函数f(x)的解析式.f(x)=sin(ωx+)cos(ωx-)-=sin(ωx+-)cos(ωx-)-=cos2(ωx-)-cos(2ωx-),由题意知,当x=时,f(x)取最值,即ω-=kπ,k∈Z, 解得ω=,k∈Z.又ω∈(0,1),所以ω=,所以f(x)=cos(x-). 9．设过点M(4,4)的抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,则F到双曲线-y2=1的渐近线的距离为　　　　. 【答案】 【解析】本题是解析几何的综合问题,考查了双曲线的渐近线、抛物线的焦点、点到直线的距离等知识,考查考生的运算求解能力.由题意,将M(4,4)代入抛物线y2=2px(p>0)可得,p=2,故抛物线的方程为y2=4x,所以其焦点为F(1,0),又双曲线-y2=1的渐近线方程为x2y=0,故F到双曲线-y2=1的渐近线的距离d=. 10．四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M、N分别是PA、PB的中点,则四棱锥D-ABNM与四棱锥P-ABCD的体积之比为　　　　. 【答案】3∶8 【解析】本题主要考查四棱锥的结构特征、体积等知识,意在考查考生的空间想象能力与计算能力.解此类问题要注意对应元素之间的关系,体积计算公式的灵活运用. 解法一　连接NA、MB,VD-ABN=VN-ABD=VP-ABCD,VD-MBN=VD-ABN=VP-ABCD,又VD-AMB=VM-ABD=VP-ABCD,所以VD-ABNM=VD-MBN+VD-AMB=VP-ABCD,即VD-ABNM∶VP-ABCD=3∶8. 解法二　VD-ABNM=VD-PAB=VP-DAB=VP-ABCD,则VD-ABNM∶VP-ABCD=3∶8. 11．如图,在△ABC中,E为AC上一点,且=2,P为BE上一点,且满足=m+n(m>0,n>0),则+取得最小值时,向量a=(m,n)的模为　　　　. 【答案】 【解析】本题主要考查向量的线性运算、基本不等式的应用等知识.求解时,首先根据向量的线性运算表示出,然后结合已知条件得到m,n之间的关系式,再利用基本不等式求出取最小值时m,n的值,最后求出向量a的模.因为B,P,E三点共线,所以=λ,所以-=λ(-)=λ(-),所以=(1-λ)+λ,故m=1-λ,n=λ,m+2n=1,所以+=(+)(m+2n)=1+4++≥5+22=9,当且仅当,即m=n时等号成立,此时m=n=,|a|=. 12．已知不等式x2+x-()n≥0(n∈N*)在x∈(-∞,λ]上恒成立,则实数λ的取值范围是　　　　. 【答案】(-∞,-1] 【解析】本题主要考查不等式恒成立问题,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.由x2+x-()n≥0恒成立得x2+x≥()n,即x2+x≥(恒成立.因为(,所以x2+x2≥在(-∞,λ]上恒成立,令y=x2+x=(x+)2-,则二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=-.当λ≤-时,函数在(-∞,λ]上单调递减,要使不等式恒成立,则有λ2+λ≥,得λ≤-1;当λ>-时,函数的最小值在x=-处取得,此时y=-=-,不满足题意.综上,实数λ的取值范围是(-∞,-1]. 13．在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点,点P在圆(x-a)2+y2=2上运动.若∠MPN恒为锐角,则实数a的取值范围是　　　　　　. 【答案】(-∞,-4)∪(-1,+∞) 【解析】这是一道两个重要C级考点的综合题,主要考查直线的方程,圆的标准方程,直线与圆、圆与圆的位置关系等知识,意在考查考生转化与化归的能力及运算求解能力.解决此题的关键是将问题转化为圆C1与圆C2外离,且直线MN与圆C2无公共点或>0恒成立,且点P不在直线y=x+2上. 解法一　由题意知,M(-2,0),N(0,2),则MN的中点坐标为(-1,1),以MN为直径的圆记为C1,则C1(-1,1),圆C1的半径r1=,圆(x-a)2+y2=2记为C2,则C2(a,0),圆C2的半径r2=.由题意知,圆C1与圆C2外离,且直线MN与圆C2无公共点.圆C1与圆C2外离⇔|C1C2|>r1+r2⇔>r1+r2=2,解得a>-1或a<--1.直线MN与圆C2无公共点⇔,解得a>0或a<-4.所以a<-4或a>-1. 解法二　由题意知,M(-2,0),N(0,2),设P(a+cosθ,sinθ),则=(a+2+cosθ,sinθ),=(a+cosθ,sinθ-2).由题意知>0恒成立,且点P不在直线y=x+2上. >0⇔(a+2+cosθ)(a+cosθ)+sinθ(sinθ-2)>0⇔(a2+2a+2)+2[(a+1)cosθ-sinθ]>0⇔(a+1)2+1+2cos(θ+φ)>0,其中tanφ=(a+1≠0),必须(a+1)2+1-2>0,所以>2,解得a>-1或a<--1.点P不在直线y=x+2上⇔a+cosθ-sinθ+2≠0⇔关于θ的方程sin(θ-)=无解⇔||>1⇔a>0或a<-4.所以a<-4或a>-1. 14．已知函数f(x)的定义域为R,函数y=f(x)log2是奇函数,f(2)=0,当x>0时,f(x)<,则不等式>0的解集为　　　　　　. 【答案】(-∞,-2)∪(0,2) 【解析】本题主要考查函数的奇偶性及导数的应用,考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力、运算求解能力,考查数形结合思想的应用.先判断函数y=的奇偶性,然后利用导数判断单调性,再利用单调性解不等式即可. 易得函数y=log2是奇函数,又函数y=f(x)log2是奇函数,故函数y=f(x)是偶函数,所以函数y=是奇函数.由f(x)<可得,当x>0时,<0,即当x>0时,()<0,故函数y=在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数,其大致图象如图所示,结合图象易得,不等式>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2). 二、解答题：共12题 15．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin(A+)=2cos A. (1)若cosC=,求证:2a-3c=0; (2)若B∈(0,),且cos(A-B)=,求sin B. 【答案】由sin(A+)=2cosA,得sinA+cosA=2cosA, 即sinA=cosA,因为A∈(0,π),且cosA≠0,所以tanA=,所以A=. (1)因为sin2C+cos2C=1,cosC=,C∈(0,π),所以sinC=, 由正弦定理,得,即2a-3c=0. (2)因为B∈(0,),所以A-B=-B∈(0,), 因为sin2(A-B)+cos2(A-B)=1,cos(A-B)=,所以sin(A-B)=,所以sinB=sin[A-(A-B)]=sinAcos(A-B)-cosAsin(A-B)=. 【解析】本题考查三角恒等变换、三角求值和解三角形.(1)由三角恒等变换可求出角A,由正弦定理可得出边之间的关系;(2)由B=A-(A-B),根据两角差的正弦公式可求出sinB的值. 【备注】江苏高考第15题侧重考查三角恒等变换,而两角和(差)的正弦、余弦及正切这一C级考点更是近5年的必考知识点,将三角恒等变换放在三角形中进行考查(此时要注意角的取值范围的限制),或者将平面向量、三角恒等变换结合起来是当前高考的主要命题方向,但问题的核心仍然是三角恒等变换.在解决这类试题时,只要抓住问题的本质,灵活地选用三角公式即可求解. 16．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,D为CC1的中点,E为BC上一点,且CE=EB. 求证:(1)DE∥平面A1MC1; (2)平面A1MC1⊥平面B1MC1. 【答案】(1)取BC的中点N,连接MN,C1N. ∵M,N分别是AB,CB的中点,∴MN∥AC∥A1C1, ∴A1,M,N,C1四点共面,且平面A1MNC1∩平面BCC1B1=C1N.又CE=EB,∴点E为CN的中点.∵点D为CC1的中点,∴ED∥C1N.∵ED⊄平面A1MNC1,C1N⊂平面A1MNC1, ∴DE∥平面A1MNC1,即DE∥平面A1MC1. (2)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AC. ∵AC⊥AB,AA1∩AB=A,∴AC⊥平面ABB1A1.又B1M⊂平面ABB1A1,∴B1M⊥AC.∵AC∥A1C1,∴B1M⊥A1C1. ∵AA1⊥AB,∴四边形ABB1A1是矩形, 又AB=2AA1,M是AB的中点,∴B1M⊥A1M. ∵A1C1,A1M⊂平面A1MC1,A1C1∩A1M=A, ∴B1M⊥平面A1MC1,又B1M⊂平面B1MC1, ∴平面A1MC1⊥平面B1MC1. 【解析】本题主要考查空间中直线和平面、平面与平面的位置关系,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.(1)利用线面平行的判定定理即可证明;(2)利用面面垂直的判定定理证明. 【备注】新的课程标准较大幅度地降低了几何论证的要求,所以近几年立体几何的高考题以点、线、面的位置关系问题居多,主要考查位置关系的判定与证明,解题策略主要是转化,立体几何中的转化主要有平行的转化、垂直的转化,即: 17．某商会拟在市区投资新建一座大型冷库,冷库的地面设计为如图所示的周长为300 m的平面区域,两头是半圆形,中间区域是矩形ABCD,冷库的高设计为地面区域两头半圆形半径的,冷库内矩形区域ABCD对应的空间用来冷藏物品. (1)求用来冷藏物品的空间容量关于AB的长度的表达式; (2)为了让用来冷藏物品的空间容量尽可能大,应该如何设计AB与BC的长度?并求出最大空间容量. 【答案】(1)设中间矩形区域中AB、BC的长度分别为x、y,用来冷藏物品的空间容量记为V,则半圆的周长为, 因为冷库的地面设计的周长为300,所以2x+2=300,即2x+πy=300,所以y=.又冷库的高设计为地面区域两头半圆形半径的,故高h=.所以用来冷藏物品的空间容量V=xyh=x,其中x∈(0,150). (2)记f(x)=2x3-600x2+45 000x,其中x∈(0,150),则f(x)=6x2-1 200x+45 000,其中x∈(0,150).令f(x)=0,得x=50,因为当x∈(0,50)时,f(x)>0,当x∈(50,150)时,f(x)<0, 所以当x=50时,用来冷藏物品的空间容量最大.即当AB、BC的长度分别设计为50 m,m时,用来冷藏物品的空间容量最大,且最大空间容量为m3. 【解析】本题是一道实际应用题,主要考查建立函数关系式、利用导数求最值等基础知识,考查运算求解能力、数学建模能力以及对数学结果进行检验、解释和处理的评价能力.(1)认真阅读、理解题意,知道用来冷藏物品的空间容量即为长方体的体积,即可列出函数表达式;(2)应用导数求最值. 【备注】实际应用问题一般会“源于生活,应用于生活”,经常涉及路程、物价、产量、费用等问题,也可涉及长度、角度、面积、体积等几何量,解答这类问题一般要列出有关的函数解析式,然后用函数、导数、方程、不等式等知识解决.近几年高考应用题的立意、实际背景和情境、设问角度和方式都很新颖灵活,坚持“贴近课本、贴近生活、贴近实际”的原则,要求考生一方面要牢固掌握基础知识、基本技能和基本方法,另一方面要善于把文字语言转化成数学语言,实现由实际问题向数学问题的转化. 18．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),过点F的直线l交椭圆C于M,N两点,圆x2+y2=与椭圆C的四个顶点构成的四边形相切. (1)求椭圆C的方程; (2)证明:+为定值,并求出此定值. 【答案】(1)因为F(1,0)为椭圆的右焦点,所以a2=b2+1,①设A,B分别为椭圆C的右顶点与上顶点,则直线AB的方程为+=1,即bx+ay-ab=0. 所以圆x2+y2=的圆心(0,0)到直线AB的距离的平方d2=,化简得2(a2+b2)=3a2b2,②由①②得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,x1=x2=1,则+=1,解得, 所以|MF|=|NF|=,则+=2.当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),联立, 化简得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 解得x=,不妨取x1=,x2=, 所以x1>1,x2<1, 而|MF|= =|x1-1|=, 同理|NF|=|x2-1|=, 则+(+) =(+) = =2.所以+为定值2. 【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质,直线、椭圆、圆的位置关系等知识,考查了考生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.(1)列出关于a,b的方程组求解即可;(2)要分类讨论,综合确定+为定值. 【备注】在高考中,让考生通过适当的运算求出椭圆的方程、圆的方程、直线的方程,探讨直线与圆锥曲线的位置关系等问题是解析几何部分的常规考点.解析几何研究的内容就是给定曲线C,如何求出它所对应的方程,并根据方程研究曲线的几何性质,其特征是以数解形,坐标法是几何问题代数化的重要方法. 19．已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-1=2an-1-32n-1+4(n≥2,n∈N*),设bn=. (1)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)设Tn为数列{Sn-4}的前n项和,求Tn; (3)是否存在正整数m,n,使得bn+bn+1=bm成立?若存在,求出所有符合条件的正整数m,n;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)由题意有Sn=2an-32n+4,n∈N*,∵a1=S1=2a1-2,∴a1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,故an=2an-1+32n-1, 于是+.又bn=,b1==1,则数列{bn}是首项为b1=1,公差为的等差数列.∴bn=,∴an=2nbn=2n-1(3n-1). (2)∵Sn-4=22n-1(3n-1)-32n=2n(3n-4)=32nn-2n+2, ∴Tn=3(21+222+…+2nn)-4(2+22+…+2n),记Wn=21+222+…+2nn　①, 则2Wn=221+232+…+2n+1n　②, ①-②得,-Wn=2+22+…+2n-2n+1n=2n+1(1-n)-2,∴Wn=2n+1(n-1)+2. 故Tn=3[2n+1(n-1)+2]-4=2n+1(3n-7)+14. (3)由(1)得bn=,所以要使bn+bn+1=bm,则+, 整理得m-2n=,∵m,n是正整数,故m-2n一定为整数,∴m-2n=不可能成立, 即不存在正整数m,n,使得bn+bn+1=bm成立. 【解析】本题是数列的综合问题,主要考查等差数列的定义、通项公式,数列求和等知识,意在考查考生的运算求解能力与解决综合问题的能力.(1)由Sn-1=2an-1-32n-1+4(n≥2,n∈N*)与Sn=2an-32n+4相减得an=2an-1+32n-1,从而得+,即数列{bn}是等差数列,从而得到数列{an}的通项公式;(2)利用错位相减法和分组求和法求解;(3)由bn+bn+1=bm得m-2n=,与m,n是正整数矛盾,故不存在. 【备注】递推是学好数列的重要思想,涉及an及Sn的关系的问题,要用an=Sn-Sn-1(n≥2)消元化归,如本题由Sn-1=2an-1-32n-1+4(n≥2,n∈N*)推出Sn=2an-32n+4,它其实就是函数中的变量代换法,在数列中一般用n-1,n+1等去代替n,也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式,代换就是对n赋值.数列以其内容的丰富性和探索性、解法的灵活性和多样性,从多角度检测考生思维的广度和深度,多年来倍受高考的青睐.其中等差数列、等比数列是C级考点,为高考必考知识点之一,函数思想与数列的结合在高考命题中频频出现,以此提升对知识的灵活运用能力,所以除了熟练掌握有关公式与性质,还需戴上“函数眼镜”,善于运用函数观点审视、分析问题. 20．已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=(4-a)lnx+. (1)当a=1时,求函数f(x)的极值; (2)若存在a∈(0,+∞),使得函数f(x)在(0,e]上的最小值是3(e为自然对数的底数),试求a的值; (3)试讨论函数y=2f(x)+g(x)的单调性. 【答案】(1)当a=1时,函数f(x)=x-lnx,∴f(x)=1-,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),∴当01时,f(x)>0,此时f(x)单调递增. ∴f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值. (2)由已知,存在a∈(0,+∞),使得函数f(x)=ax-lnx在x∈(0,e]上有最小值3.f(x)=a-,其中a>0, ①当0<时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,e]上单调递增,所以f(x)min=f()=1+lna=3,解得a=e2. ②当≥e,即00). ①当a≥0时,y=2f(x)+g(x)在(0,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数; ②当-2==-, ∴异面直线MN与BC所成角的正弦值为. (2)设平面AMN的法向量为n=(x,y,z), 由n=0,n=0,得,令x=1,得y=-2,z=.∴n=(1,-2,)是平面AMN的一个法向量.又=(0,0,4)是平面AMB的一个法向量,且cos=.又二面角N-AM-B为锐角, ∴二面角N-AM-B的余弦值为. 【解析】本题主要考查利用空间向量求解异面直线所成的角、二面角等相关问题,考查考生的空间想象能力、运算求解能力.先找出垂直关系,建立空间直角坐标系,然后用空间向量求解空间角. 【备注】高考第22题中的立体几何题多以常见且常规的柱体、锥体为载体,主要考查空间向量在求解空间角中的应用,一般两问都求解空间角,其中二面角必考,异面直线所成的角、线面角交替考;也有可能是题目中的已知条件含有空间角,设置为一证(空间中平行与垂直的位置关系)一求(不同于已知条件中的空间角类型)的命题模式.解题时,要充分利用几何体中已有的垂直关系建立合适的空间直角坐标系,将问题转化为空间向量问题,通过计算解决相关的问题. 26．已知函数f(x)=,若f1(x)=f(x),且fn+1(x)=f(fn(x)),其中n∈N*. (1)求f1(x),f2(x),f3(x); (2)由(1)猜想fn(x)的表达式,并证明你的猜想正确. 【答案】(1)由题意知,f1(x) =f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=. (2)由(1)猜想fn(x)=.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,f1(x)=,故猜想正确.②假设当n=k(k≥1)时猜想正确,即fk(x)=.则当n=k+1时,(x)=f(fk(x))=,即当n=k+1时猜想正确.由①②可知,猜想对n∈N*都正确. 【解析】本题主要以函数为载体考查数学归纳法的知识,考查考生的推理论证能力与逻辑思维能力. 【备注】本题是“归纳——猜想——证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,解决本题的方法在解决探究性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.