2019-2020年高考数学 4.3 平面向量的数量积练习.doc
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2019-2020年高考数学 4.3 平面向量的数量积练习 (25分钟 50分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.△ABC中A(2,1),B(0,4),C(5,6),则=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】选C.由已知得=(-2,3),=(3,5),所以=-23+35=9. 2.(xx丽水模拟)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)b=0,则向量a,b的夹角为( ) 【解析】选A.由(2a+b)b=0得2ab+bb=0, 即2|a||b|cosθ+b2=0, 又|a|=|b|,且a,b为非零向量, 所以2|a|2cosθ+|a|2=0. 所以cosθ=-,所以θ=. 3.(xx滨州模拟)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.1 【解题提示】利用坐标表示a+2b,再利用垂直条件得方程求解. 【解析】选A.由已知得a+2b=(,3), 故(a+2b)c=(,3)(k,)=k+3=0. 解得k=-3. 【加固训练】已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.当m=1时,(a-b)a=a2-ab=1-12cos 60=0,故(a-b)⊥a;反之当(a-mb)⊥a时,有(a-mb)a=a2-mab=1-m(12cos 60)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)⊥a”的充要条件. 4.(xx绵阳模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|=ab,则y=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】选D.因为a=(1,1),b=(2,y), 所以a+b=(3,y+1),ab=2+y, 因为|a+b|=ab.所以=2+y,所以y=3. 5.(xx厦门模拟)在△ABC中,∠A=120,=-1,则||的最小值 是( ) A. B.2 C. D.6 【解析】选C.由 当且仅当时等号成立. 所以||≥,故选C. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(2,2),则|2a-b|的最大值为 . 【解析】由已知得|2a-b|2=4a2+b2-4ab =4+16-4(2cosθ+2sinθ) =20-16 =20-16sin 所以当θ+=2kπ-(k∈Z),即θ=2kπ-π(k∈Z)时,|2a-b|=36. 所以|2a-b|的最大值为6. 答案:6 7.在平面直角坐标系xOy中,已知则实数λ的值为 . 【解析】由已知得=(-3,3),设C(x,y), 则=-3x+3y=0,所以x=y. =(x-3,y+1). 又,即(x-3,y+1)=λ(0,2), 所以由x=y得,y=3,所以λ=2. 答案:2 8.(xx东营模拟)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为 . 【解析】由|a+b|=|a-b|,得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,所以(a+b)a=a2+ab=|a|2. 故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为 cosθ==.又0≤θ≤π,所以θ=. 答案: 三、解答题 9.(10分)已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若a⊥b,求x的值. (2)若a∥b,求|a-b|. 【解析】(1)由a⊥b得,2x+3-x2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得x=3或x=-1. (2)由a∥b,则2x2+3x+x=0,即2x2+4x=0,得x=0或x=-2. 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0). 此时|a-b|=2. 当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2), 则a-b=(2,-4). 故|a-b|= 【加固训练】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ. (2)求|a+b|. (3)若=a,=b,求△ABC的面积. 【解析】(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61, 所以4|a|2-4ab-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61, 所以ab=-6, 所以cosθ= 又0≤θ≤π,所以θ=π. (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2 =42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=. (3)因为的夹角θ=π,所以∠ABC=又||=|a|=4, ||=|b|=3, 所以 (20分钟 40分) 1.(5分)(xx石家庄模拟)在△ABC中,AB=4,AC=3,=1,则BC=( ) 【解题提示】利用已知条件,求得夹角的余弦,再用余弦定理求BC. 【解析】选D.设∠A=θ, 因为,AB=4,AC=3, 所以 2.(5分)(xx太原模拟)在△ABC中,设那么动点M的轨迹必通过△ABC的( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 【解析】选C.假设BC的中点是O,则 即所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心. 【加固训练】(xx兰州模拟)若△ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且=0,则△ABC一定是( ) A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 【解析】选C.因为所以=0,即,又A,B,C度数成等差数列,故2B=A+C,又A+B+C=π, 所以2B=π-B,所以3B=π,B=, 故△ABC是等边三角形. 3.(5分)设两个向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,若向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,则实数t的范围为 . 【解析】由向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,得<0,即(2ta+7b)(a+tb)<0, 化简即得2t2+15t+7<0,解得-7
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