《2019年高考数学二轮复习 专题训练八 第3讲 不等式选讲 理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学二轮复习 专题训练八 第3讲 不等式选讲 理.doc（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
2019年高考数学二轮复习 专题训练八 第3讲 不等式选讲 理
考情解读 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)⇔－a2，∴x>2.
综上可知，原不等式的解集为.
思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
(1)若不等式|x＋1|＋|x－2|0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；
(2)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；
(3)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
证明 (1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．
∵a≥b>0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0.
∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.
∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
(2)a6＋8b6＋c6≥3
＝3a2b2c2＝2a2b2c2，
∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.
(3)∵a2＋4b2≥2＝4ab，
a2＋9c2≥2＝6ac，
4b2＋9c2≥2＝12bc，
∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，
∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
思维升华 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．
(xx课标全国Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.
证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
热点三 不等式的综合应用
例3 (xx陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
答案 2
解析 先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件．
∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(bm＋an)
＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)
≥2abmn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)
＝2(a2＋b2＋2ab)
＝2(a＋b)2＝2，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”．
∴所求最小值为2.
思维升华 利用基本不等式求解最值时，有时需化简代数式，切记等号成立的条件．
(xx湖北改编)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝________.
答案
解析 通过等式找出a＋b＋c与x＋y＋z的关系．
由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①与a2＋b2＋c2＝10相加可得
(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令，
则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝.
1．对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二
是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．
2．使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6.
3．易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术—几何平均不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件.
真题感悟
1．(xx江西改编)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为________．
答案 3
解析 ∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
2．(xx湖南)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为{x|－0时，－5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x>2时，g(x)>5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
方法二 (1)同方法一．
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
2．设a，b，c均为正实数，试证明不等式＋＋≥＋＋，并说明等号成立的条件．
解 因为a，b，c均为正实数，
所以≥≥，
当且仅当a＝b时等号成立；
≥≥，
当且仅当b＝c时等号成立；
≥≥，
当且仅当a＝c时等号成立．
三个不等式相加，得＋＋≥＋＋，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
(推荐时间：40分钟)
1．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是R，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)
解析 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
2．(xx重庆)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，]
解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x<－2时，y＝－3x－1>5；
当－2≤x<时，y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]．
3．若不等式|ax＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a＝________.
答案 －2
解析 由－40时，－4时，x＋3＋x－4≤9，即4f(1＋t2)，则实数t的取值范围是________．
答案 (－3,3)
解析 ∵x2－bx＋c<0的解集是(－1,3)，
∴>0且－1,3是x2－bx＋c＝0的两根．
则函数f(x)＝x2－bx＋c图象的对称轴方程为x＝＝1，
且f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
又∵7＋|t|≥7>1,1＋t2≥1，
则由f(7＋|t|)>f(1＋t2)，得7＋|t|>1＋t2，
即|t|2－|t|－6<0，亦即(|t|＋2)(|t|－3)<0，
∴|t|<3，即－30，则当a＝________时，＋取得最小值．
答案 －2
解析 由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.
9．若T1＝，T2＝，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．
答案 T1≤T2
解析 因为－＝s
＝≤0.
所以T1≤T2.
10．设0a2，a>0，b>0得b>a.
又c－b＝－(1＋x)＝＝>0得c>b，知c最大．
11．设x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系为__________．
答案 M＋＝＝M.
12．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．
答案 M>N
解析 ∵a≠b，∴＋>2，＋>2，
∴＋＋＋>2＋2，
∴＋>＋.即M>N.
13．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
答案 5
解析 ∵|x－1|≤1，
∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.
又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，
从而－6≤－2y≤－2.
由同向不等式的可加性可得
－6≤x－2y≤0，
∴－5≤x－2y＋1≤1，
∴|x－2y＋1|的最大值为5.
14．不等式>|a－5|＋1对于任一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (4,6)
解析 ＝|x|＋≥2，
所以|a－5|＋1<2，即|a－5|<1，∴4a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 由绝对值的几何意义知
|x－4|＋|x＋5|≥9，
则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，
所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
2019年高考数学二轮复习 专题训练八 第3讲 不等式选讲 理.doc
装配图网所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
链接地址：https://www.zhuangpeitu.com/p-3244563.html