2019-2020年初中数学竞赛辅导资料（60）解三角形（无答案）.doc
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2019-2020年初中数学竞赛辅导资料（60）解三角形（无答案） 甲内容提要 1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形. 2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt△ABC中，∠C=Rt∠). ① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c2=a2+b2. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义） SinA=， CosA=, tanA=, CotA=. ④ 互余的两个角的三角函数的关系： Sin(90－A)= CosA， Cos(90－A)= SinA， tan(90－A)= CotA, Cot(90－A)= tanA. ⑤ 特殊角的三角函数值： 角A的度数 0 30 45 60 90 SinA的值 0 1 CosA的值 1 0 tanA的值 0 1 不 存 在 CotA的值 不 存 在 1 0 锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）. 3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC中) ① 正弦定理： =2R. (R是△ABC外接圆半径). ② 余弦定理： c2=a2+b2－2abCosC； b2=c2+a2－2ca CosB； a2=c2+b2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系： Sin(180－A)= sinA， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA， cotA(180－A)=－tanA. ④ S△ABC＝absinC=bcsinA=casinB. 4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等. 乙例题 例1. 已知：四边形ABCD中，∠A＝60，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1. 求：AC的长. 解：延长AD和BC相交于E，则∠E＝30. 在Rt△ECD中，∵sinE=, ∴CE==1＝2. EB＝4. 在Rt△EAB中， ∵tanE=, ∴AB=EBtan30。=. 根据勾股定理AC＝＝. 又解：连结BD，设AB为x，AD为y. 根据勾股定理 AC2＝x2+22=y2+12. 根据余弦定理BD2＝x2+y2－2xyCos60=22＋12－221Cos120. 得方程组 解这个方程组， 得 x=. (以下同上一解) 例2. 已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD=a. 试写出表示AB的算式. 解：设AB为x，BD为y. 在Rt△ABD和Rt△ABC中， xCotm=xCotn－a . ∴ x=. 答：山高AB＝. 例3. 已知：四边形ABCD中，∠ABC＝135，∠BCD＝120，CD＝6，AB＝， BC＝5－. 求：AD的长. （1991年全国初中数学联赛题） 解：作AE∥BC交CD于E， BF⊥AE于F， CG⊥AE于G.. 在Rt△ABF中， BF＝Sin45=, AF＝BF＝. 在Rt△CGE中， GE＝CGtan30=＝1, ∴CE＝2， ED＝4. ∴AE=+5－+1=6， ∠AED＝120. 在△AED中，根据余弦定理，得 AD2＝62＋42－264Cos120=76. ∴AD＝2. 例4. 如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角∠CAB＝30，∠CAD＝45，∠DBC＝75，∠DBA＝45，AB＝. 试求C，D的距离. 解：在△ABC中， ∵∠ACB＝∠CAB＝30， ∴BC＝AB＝, ∴AC＝2cos30=3. 在△ABD中，∠ADB＝60 由正弦定理， ＝， AD＝sin45=＝. 在△ACD中，由余弦定理，得 CD2＝32＋（）2－23Cos45=5 ∴CD＝. 例5. 已知：O是凸五边形ABCDE内的一点且 ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8. 求证：∠9和∠10相等或互补 (1985年全国初中数学联赛题) 证明：根据正弦定理，得 =. ∴sin10=sin9 ∴∠9和∠10相等或互补. 例6. 已知：二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值. 求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比. 解：作Rt△ABC斜边上的高CD. 则sinA=, sinB=. ∵sinA和 sinB是方程的两根， 根据韦达定理，得 sinA+ sinB=； (1) sinA sinB= . (2) 即=. （3） (1)2－2(2)得： (sinA)2+(sinB)2=()2－. ∵sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1， ∴()2－=1， m2+7m－8=0, ∴m=1， m=－8. 由（3）＝＝. ∴＝. 当 m=1 时，没有意义； 当m=-8时，=. 即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9. 丙练习 1. 填空： ① 如果从点A对着点B测得仰角是60，那么从点B对着点A测得的俯角是＿＿度. ② 点C在点D的南偏东25，那么点D在C的方向是＿＿＿＿＿＿. ③ 斜坡AB的坡角是30，那么AB的坡度i=1∶＿＿＿. ④ 锐角A＞45，那么下列函数的取值范围是： SinA_____， CosA_____， tanA_______，cotA________. ⑤ 已知：30＜∠A＜60，那么如下的函数的取值范围是 ∠A的余弦＿＿＿＿＿＿＿＿，∠A的正切＿＿＿＿＿＿＿. 2. 已知：△ABC中，∠B＝45，AC＝7，点D在BC上，CD＝3， D＝5. 求AB的长. 3. 如图观测塔AB的高为a米，从塔顶A测得地面上 同一方向上的两个目标C，D的俯角分别是30和45， 求CD的距离. 4. 船A在船B的正北，它们同时向东航行，时速分别是15和20海里，3小时后，船B在船A的东南，问这时两船相距多远？ 5. 一只船向南航行，出发前在灯塔A的北偏东30，相距15海里，2小时后，灯塔在船的北偏西60，求船的航行速度. 6. 如图要测量建筑物AB的高，先在楼下C测得对顶端A的 仰角为45，然后在楼上D测得对A的仰角为30，已知 楼高CD=m米，求AB. 7. 已知：△ABC中，a=21, b=17, c=10. 求：S△ABC. 8. 已知：△ABC中，SinA∶ SinB∶SinC=3∶5∶7. 求：△ABC的最大角的度数. 9. 船B在艇A的方位角120 ，相距24海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角240的方向前进，速度是每小时9海里. A艇以最快的时速21海里赶去营救，问应沿什么方向，要经过几小时才能靠近船B？ 10. 已知：锐角三角形ABC的外接圆直径AE交BC于D. 求证：tanBtanC=AD∶DE 提示：作BC边的高AF(h)并延长交圆于G,连结GE 11. 已知：△ABC中，∠A=45，AB=，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不能，说明理由；如能请解这个三角形. (1981年福建省初中数学联赛题) 12. 如图已知：ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，AD，连结PR和MQ交于N. 求证：. (1983年福建省初中数学联赛题) 13. 如图已知：锐角△ABC 中，AC=1，AB=c，△ABC的外接圆半径R≤1. 求证： Cos
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