2018-2019学年九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形同步练习 （新版）北师大版.doc
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课时作业(二十八) [第三章 8 圆内接正多边形] 一、选择题 1．xx株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2．xx滨州若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( ) A. B．2 C. D．1 3．xx达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( ) A. B. C. D. 4．若正六边形的两条平行边相距12 cm，则它的边长为() A．6 cm B．12 cm C．4 cm D. cm 5．xx慈溪市期末如图K－28－1，A，B，C三点在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形的一边，BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于( ) 图K－28－1 A．12 B．15 C．18 D．20 6．如图K－28－2，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列说法错误的是( ) 图K－28－2 A．∠BAC＝30 B.＝ C．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径 D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 二、填空题 7．xx邗江区一模如图K－28－3，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a应是________. 图K－28－3 8．正六边形的面积是18 ，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为________． 9．如图K－28－4，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON的度数为________． 图K－28－4 10．xx广东模拟为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图K－28－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为________． 图K－28－5 三、解答题 11．已知：如图K－28－6，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝36，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形． 图K－28－6 12．xx平房区二模如图K－28－7，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N. (1)求证：AE＝BF； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△ABM全等的三角形． 图K－28－7 13．用一个长60米的篱笆围成一个羊圈，分别计算所围羊圈是正三角形、正方形、正六边形、圆时的面积(结果精确到1平方米)． (1)比较这些面积的大小； (2)归纳出周长相等的正多边形、圆面积大小的规律(不需证明)． 探究题(1)如图K－28－8①所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，求∠MON的度数； (2)如图②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，则图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________，由此可猜测在图中，∠MON的度数是________． 图K－28－8 详解详析 【课时作业】 [课堂达标] 1．[解析] A ∵正三角形一条边所对的圆心角是3603＝120， 正方形一条边所对的圆心角是3604＝90， 正五边形一条边所对的圆心角是3605＝72， 正六边形一条边所对的圆心角是3606＝60， ∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A. 2．[解析] A 如图所示，E为切点，连接OA，OE， ∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴OE＝OA＝.故选A. 3．[解析] A 如图①， ∵OC＝2，∴OD＝2sin30＝1； 图① 如图②， 图② ∵OB＝2，∴OE＝2sin45＝； 如图③， 图③ ∵OA＝2， ∴OD＝2cos30＝， 则该三角形的三边长分别为1，，. ∵12＋()2＝()2， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是1＝. 故选A. 4．[解析] C 两条平行边相距12 cm，即可得边心距为6 cm，从而可得正六边形的边长为4 cm. 5．[解析] B 连接OC，OA，OB， ∵AB是⊙O内接正六边形的一边， ∴∠AOB＝3606＝60. ∵BC是⊙O内接正十边形的一边， ∴∠BOC＝36010＝36， ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60－36＝24， ∴n＝36024＝15. 故选B. 6．[解析] A ∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60.显然∠BAC＝∠BOC＝∠AOB＝60＝15.故选项A说法错误．∵OC⊥AB，∴＝，故选项B说法正确．易知△AOB为等边三角形，∠AOB＝60，以AB为一边正好可以构成正六边形，故选项C说法正确．∵OC⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝30，＝12，∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故选项D说法正确．故选A. 7．[答案] 2 cm [解析] 过正六边形的中心O作一边的垂线，垂足为B，连接OA. 则∠O＝30，AB＝1 cm， ∴OB＝＝ cm， ∴a＝2OB＝2 cm. 故答案为2 cm. 8．[答案] 3π [解析] 如图所示，设正六边形的边长为a， ∵正六边形的面积是18 ， ∴△OAB的面积是3 ， 即ABOAsin60＝3 ，a2＝3 ， ∴a＝2 ，∴OD＝OAsin60＝2 ＝3， ∴S圆环＝S外接圆－S内切圆＝π(2 )2－π32＝12π－9π＝3π. 9．[答案] 45 [解析] 连接OA，OB，OC. ∵正八边形是中心对称图形， ∴中心角为3608＝45， ∴∠OAM＝∠OBN＝＝67.5. ∵OA＝OB, ∠OAM＝∠OBN，AM＝BN， ∴△OAM≌△OBN， ∴∠AOM＝∠BON， ∴∠MOB＝∠NOC. ∵∠AOC＝∠AOM＋∠MOB＋∠BON＋∠NOC＝90， ∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝(∠AOM＋∠MOB＋∠BON＋∠NOC)＝∠AOC＝45. 10．[答案] 2a2 [解析] △ABC是等腰直角三角形，且AB＝a，则AC＝BC＝a， 则S△ABC＝ACBC＝＝，中间的正方形的面积是a2，则阴影部分的面积是4＋a2＝2a2. 11．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36， ∴∠ABC＝∠ACB＝72. ∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝∠BAC＝36， ∴＝＝＝＝， 即点A，E，B，C，D把⊙O五等分， ∴五边形AEBCD是正五边形． 12．解：(1)证明：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF＝FE＝BA，∠AFE＝∠BAF. 在△AFE与△BAF中，∵AF＝BA，∠AFE＝∠BAF，FE＝AF， ∴△AFE≌△BAF，∴AE＝BF. (2)与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF＝FE，∠BAF＝∠AFE＝120， ∴∠ABM＝∠FAE＝30， ∴∠BAM＝90. 同理可得∠DEN＝30，∠EDN＝90， ∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN. 在△ABM和△DEN中，∵∠BAM＝∠EDN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN， ∴△ABM≌△DEN. 同理可证明△FEM≌△ABM，△CBN≌△ABM. 13．解：①当所围羊圈是正三角形时，其边长为20米， S正三角形＝2010 ＝100 ≈173(米2)； ②当所围羊圈是正方形时，其边长为15米， S正方形＝152＝225(米2)； ③当所围羊圈是正六边形时，其边长为10米， S正六边形＝610＝150 ≈260(米2)； ④当所围羊圈是圆形时，其半径为米， S圆＝π()2＝≈286(米2)． (1)S正三角形
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