2019春八年级数学下册 18 平行四边形本章小结学案 （新版）新人教版.doc

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本章小结 学习目标 1.回顾平行四边形及各种特殊平行四边形的性质与判定,三角形的中位线及其性质,直角三角形斜边上的中线的性质.(重点) 2.正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过程中,逐渐建立知识体系.(难点) 3.总结本章的重要思想方法. 学习过程 一、合作探究 阅读第十八章全章内容,回答下列问题: 1.填写下表:总结 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 　　　平行且相等 　　　平行且相等 　　　平行,　　　相等 　　平行,　　相等 角 　　相等 　　　都是直角 　　相等 　　　都是直角 互相　 互相　　　　 互相　　　　,且每条对角线平分一组　　 互相　　　　且　　,每条对角线平分一组　　 判定 　　1.两组对边分别　　; 2.两组对边分别　　; 3.一组对边　　且　　; 4.两组对角分别　　; 5.两条对角线互相　　. 　　1.有　　角是直角的四边形; 2.有　　角是直角的　　　　　; 3.　　　相等的　　　　　. 　　1.四边　　的四边形; 2.对角线互相　　的平行四边形; 3.有一组邻边　　的平行四边形. 4.每条对角线　　　　　　　一组对角的四边形. 　　1.有一个角是　　的菱形; 2.对角线　　的菱形; 3.有一组邻边　　的矩形; 4.对角线互相　　的矩形; 对称性 只是　　　　图形 既是　　　图形,又是　　　　图形 面积 S=　 S=　 S=　 S=　 2.我们学习了一般的平行四边形和一些特殊的平行四边形,下图表示了在某种条件下它们之间的相互转化.请你对下图标上的5个数字序号写出相对应的条件. 3.三角形的中位线及其性质是什么? 4.直角三角形斜边上的中线有何性质? 5.矩形被其一条对角线分成两个　　　　三角形,被其两条对角线分成四个　　　　三角形;菱形被其一条对角线分成两个　　　　三角形,被其两条对角线分成四　　　　三角形;正方形被其一条对角线分成两个　　　　三角形,被其两条对角线分成四个全等三角形. 6.矩形有　　　　条对称轴,菱形有　　　　条对称轴,正方形有　　　　条对称轴. 二、自主练习 【例1】如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,给出下列三个条件:①BE=DF;②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.请你从中选择一个适当的条件　　　　,使四边形AECF是平行四边形,并证明你的结论. 【例2】如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论. 【例3】如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,BD=6 cm,DH⊥AB于H,求高DH的长. 【例4】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形ABCO的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形ABCO绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一,你能说明理由吗?(提示:寻找全等三角形) 【例5】如图,△ABC中,BD,CE为高,F是边BC的中点,判断△DEF的形状,并说明理由. 三、跟踪练习 1.已知▱ABCD的周长为36 cm,AB=15 cm,则AD= (　　) A.21 cm B.6 cm C.10.5 cm D.3 cm 2.菱形的周长为40 cm,一条对角线长为16 cm,则其另一条对角线长(　　) A.12 cm B.6 cm C.16 cm D.8 cm 3.在△ABC中,D,E分别是BC,AC边的中点,若AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,则DE=　　　　cm. 4.矩形ABCD的边AB长5 cm,对角线AC长13 cm,则矩形的周长是　　　　cm. 5.如图,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=5,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积是　　　　. 6.已知:如图,菱形ABCD中,∠B=60,AB=4,求以AC为边长的正方形ACEF的周长. 四、变式演练 1.如图,在四边形ABCD中,点H是边BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF. (1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是　　　　,并证明; (2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形?请说明理由. 2.现有一张矩形纸片ABCD,如图所示,其中AB=4 cm,BC=6 cm,E是BC的中点.实际操作:将纸片沿直线AE折叠,使点B落在四边形AECD内,记为点B. (1)请用尺规在图中作出△AEB(保留作图痕迹); (2)试求B,C两点之间的距离. 五、达标检测 (一)选择题 1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是(　　) A.AC=BD,AB=CD,AB∥CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 2.如图,将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是(　　) A.3 B.23 C.5 D.25 3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平行四边形的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知点A(2,0),B-12,0,C(0,1),以A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O,再从中点O走到正方形OCDF的中心O1,再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再从中心O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了312m,则长方形花坛ABCD的周长是(　　) A.36 m B.48 m C.96 m D.60 m (二)填空题 6.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于　　　　. 7.平行四边形两邻边长分别为20和16,若两较长边之间的距离为4,则两较短边之间的距离为　　　　　. 8.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形A1B1C1D1的面积为　　　　. 9.如图,▱ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为10,△FCB的周长为22,则FC的长为　　　　. 10.将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到　　　条折痕,如果对折n次,可以得到　　　条折痕. (三)解答题 11.如图,直线a,b相交于点A,C,E分别是直线b,a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M,N分别是EC,DB的中点.求证:(1)DM=BM;(2)MN⊥BD. 12.已知:在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF,EG,AG,∠1=∠2. (1)若CF=2,AE=3,求BE的长; (2)求证:∠CEG=12∠AGE. 参考答案 一、合作探究 1. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行,四边相等 对边平行,四边相等 角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 续　表 平行四边形 矩形 菱形 正方形 判定 　　1.两组对边分别平行; 2.两组对边分别相等; 3.一组对边平行且相等; 4.两组对角分别相等; 5.两条对角线互相平分. 　　1.有三个角是直角的四边形; 2.有一个角是直角的平行四边形; 3.对角线相等的平行四边形. 　　1.四边相等的四边形; 2.对角线互相垂直的平行四边形; 3.有一组邻边相等的平行四边形; 4.每条对角线互相垂直且平分一组对角的四边形. 　　1.有一个角是直角的菱形; 2.对角线相等的菱形; 3.有一组邻边相等的矩形; 4.对角线互相垂直的矩形. 对称性 只是中心对称图形 既是轴对称图形,又是中心对称图形 面积 S=ah S=ab S=12d1d2 S=a2 2.(1)两组对边分别平行;(2)有一个角是直角;(3)有一组邻边相等;(4)有一组邻边相等;(5)有一个角是直角. 3.略 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 5.略 6.2　2　4. 二、自主练习 【例1】选①(答案不唯一) 证明:如图,连接AC交BD于O. ∴AO=CO,OB=OD. 又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,∴OE=OF. 又∵AO=CO, ∴四边形AECF为平行四边形. 【例2】解:四边形EFGH为平行四边形. 如图,连接AC,在△ACD中,H,G分别为AD,CD的中点, ∴HG∥AC,HG=12AC. 同理:EF∥AC,EF=12AC. ∴HG∥EF,HG=EF. ∴四边形EFGH为平行四边形. 【例3】解:∵四边形ABCD为菱形, ∴AO=12AC=4 cm,OB=12BD=3 cm. AC⊥BD, ∴在Rt△AOB中,AB=AO2+BO2=32+42=5(cm). 又∵S△ABD=12DHAB=12AOBD. ∴DH=AOBDAB=465=245(cm). 【例4】解:∵∠BOF+∠AOB=90,∠AOB+∠AOE=90.∴∠BOF=∠AOE. 又∵OA=OB,∠OAE=∠OBF.∴△AOE≌△BOF. ∴S△AOE=S△BOF. ∴S四边形EBFO=S△BOF+S△OEB=S△AOE+S△OEB=S△ABO=14S正方形ABCD. 【例5】解:△DEF为等腰三角形. 在Rt△BEC中,∵F为BC的中点,∴EF=12BC, 同理:FD=12BC,∴FD=EF. ∴△DEF为等腰三角形. 三、跟踪练习 1.D　2.A　3.2　4.34　5.10 6.解:由菱形的性质得:AB=BC, 又∵∠B=60, ∴△ABC为等边三角形.∴AC=AB=4. ∴C正方形ACEF=4AC=44=16. 四、变式演练 1.解:(1)添加条件:BE∥CF(答案不唯一). 证明:如题图,∵BE∥CF,∴∠1=∠2. ∵点H是边BC的中点,∴BH=CH. 又∵∠3=∠4, ∴△BEH≌△CFH. (2)当BH=EH时,四边形BFCE是矩形,理由如下: 如图,连接BF,CE,∵△BEH≌△CFH, ∴BH=CH,EH=FH. ∴四边形BFCE是平行四边形. 又∵BH=EH,∴BC=EF, ∴四边形BFCE是矩形. 2.解:(1)如图所示. (2)如图,连接BB,BC,设BB与AE交于点F. 因为点B,B关于直线AE对称, 所以BE=BE, 所以∠EBB=∠EBB. 因为BE=EC,所以BE=EC, 所以∠ECB=∠EBC. 因为∠EBB+∠EBB+∠EBC+∠ECB=180, 所以∠BBC=90. 因为BC=6 cm,E是BC的中点, 所以BE=3 cm. 在Rt△ABE中,AB=4 cm,BE=3,根据勾股定理,得AE=5 cm,所以BF=125 cm,所以BB=245 cm. 在Rt△BBC中,根据勾股定理,得 BC=62-2452=185. 故B,C两点之间的距离为185cm. 五、达标检测 1.C　2.D　3.C　4.C　5.C 6.30　7.5　8.20　9.6　10.15　2n-1 11.证明:(1)∵BC⊥a,DE⊥b, ∴∠CDE=∠CBE=90, ∴△CBE,△CDE为直角三角形, ∵点M是EC的中点, ∴DM=BM=12EC, ∴DM=BM; (2)∵DM=BM, ∴△MDB为等腰三角形, 又∵N为BD的中点, ∴MN为BD边上的中线, ∴MN⊥BD(三线合一). 12.解:(1)∵点F为CE的中点, ∴CE=CD=2CF=4. 又∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD=4. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得:BE=AB2-AE2=7. (2)证明:如图,延长AG,BC交于点H. ∵CE=CD,∠1=∠2,∠C=∠C, ∴△CEG≌△CDF.∴CG=CF. ∵点F为CE的中点,即CF=EF=12CE, 又CE=CD,∴CG=GD=12CD. ∵AD∥BC, ∴∠GAD=∠H,∠ADG=∠GCH. ∴△ADG≌△HCG. ∴AG=HG. ∵∠AEH=90, ∴EG=12AH=GH. ∴∠GEH=∠H=12∠AGE.