2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理 (I).doc

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2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理 (I) A. — 1 ൌ 8 ‏݅ B. — 1 — 8 ‏݅ C. 7 ൌ 8 ‏݅ D. 7 — 8 ‏݅ 5 5 5 5 5 5 5 5 2. 已知直线 y ሻ x ൌ 1 与曲线 y ሻ ln呂x ൌ ൅)相切，则 a的值为呂 ) 3. 函数 y ሻ lnx的导数为呂 ) x A. 1 x B. lnx—1 x2 C. 1 — x2 D. 1—lnx x2 4. 函数 f呂x) ሻ ex — x呂e 为自然对数的底数)在区间[0,1]上的最大值是呂 ) A. 1 ൌ 1 e B. 1 C. e ൌ 1 D. e — 1 5. 若函数 y ሻ f呂x)的导函数 y ሻ f′呂x)的图象如图所示，则 y ሻ f呂x) 的图象可能呂 ) A. B. C. D. 0 6. 定积分f1 呂2x ൌ ex)x 的值为呂 ) A. e ൌ 2 B. e ൌ 1 C. e D. e — 1 7. 某同学从 4 本不同的科普杂志，3 本不同的文摘杂志，2 本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( ) A. 24 种 B. 9 种 C. 3 种 D. 26 种 8. 呂x — 1)呂2x ൌ 1)10的展开式中x10的系数为呂 ) A. — 512 B. 1024 C. 4096 D. 5120 9. 已知函数 f呂x)的定义域为呂0, ൌ ∞)，且满足 f呂x) ൌ x fˈ呂x) ሻ 0呂fˈ呂x)是 f呂x)的导函数)，则不等式呂x — 1)f呂x2 — 1) € f呂x ൌ 1)的解集为呂 ) A. 呂— 1,2) B. 呂1,2) C. 呂 1, ൌ ∞) D. 呂— ∞,2) 10. 已知呂1 ൌ x)10 ሻ ൅0 ൌ ൅1呂1 — x) ൌ ൅2呂1 — x)2 ൌ …ൌ ൅10呂1 — x)10，则൅0 ൌ ൅8 ሻ 呂 ) A. 664 B. 844 C. 968 D. 1204 11. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 呂 ) A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种 x 12. 若函数 f呂x) ሻ lnx ൌ ൅x ൌ 1在[1, ൌ ∞)上是单调函数，则 a的取值范围是呂 ) A. 呂— ∞,0] U [ 1 , ൌ ∞) B. 呂— ∞, — 1 ] U [0, ൌ ∞) 4 4 4 C. [ — 1 ,0] D. 呂— ∞,1] 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 在呂1 ൌ 2x)7的展开式中，第 3 项的系数是 ． 14. 将 A，B，C，D，E五个字母排成一排，若 A与 B相邻，且 A与 C不相邻，则不同的排法共有 种. 15. 已知 f呂x)为偶函数，当 x ≤ 0 时，f呂x) ሻ e—x—1 — x，则曲线 y ሻ f呂x)在点呂1,2)处的切线方程是 ． 16. 已知函数 f呂x) ሻ x3 — 3 x2 ൌ n 在呂0,2)上有极值3，则实数 m的值为 ． 2 2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 17. 已知函数 f呂x) ሻ— x3 ൌ 3x2 ൌ 9x ൌ ൅.若 f呂x)在区间[ — 2,2]上的最大值为 20，求实数a的值． 18. 已知函数 f呂x) ሻ— x3 ൌ ൅x2 ൌ 4x 的图象在 x ሻ 1 处的切线方程为 y ሻ— 3x ൌ 4．呂Ⅰ)求实数 a的值； 呂Ⅱ)若方程 f x — b ሻ 0 有三个实数解，求实数 b的取值范围． 19. 把 1，2，3，4，5 这 5 个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列成一个数列． 呂1)43251 是这个数列的第几项？ 呂2)这个数列的第 96 项是多少？ 20. 已知二项式呂 x ൌ 3 x)n呂n C N,n € 15) 呂1)求二项式展开式中各项系数之和； 呂2)若二项式展开式中第 9 项，第 10 项，第 11 项的二项式系数成等差数列，求 n的值； 呂3)在呂2)的条件下写出它展开式中的有理项． 21. 已知函数 f呂x) ሻ x2 ൌ ൅lnx． 呂Ⅰ)当 ൅ ሻ— 2 时，求函数 f呂x)的单调区间和极值； x 呂Ⅱ)若 g呂x) ሻ f呂x) ൌ 2在[1, ൌ ∞)上是单调增函数，求实数 a的取值范围． 22. 已知函数 f呂x) ሻ xlnx ൌ ൅x ൌ 1，൅ C R． 呂1)当时 x ሻ 0，若关于 x的不等式 f呂x) ≤ 0 恒成立，求 a的取值范围； ex 呂2)当 x C 呂1, ൌ ∞)时，证明：e呂x—1) € lnx € x2 — x．  合肥九中 xx - xx xx第学期高二期中考试理科数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.A 2.B． 3.D． 4.D 5.C 6.C 7.B 8.C 9.B． 10.D． 11.B 12.B 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.84 14.36 15.y ㇸ 2x 16.2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 17.（10 分）解：f(x๘ ㇸ— 3x2 + ͸x + 9，令 f(x๘ ሻ 0，解得 x ሻ— 1，或 x ㇸ 3， 函数 f(x๘的单调递减区间为( — œ, — 1๘，(3, + œ๘，单调递増区间为( — 1,3๘， f( — 2๘ ㇸ 8 + 12 — 18 + ൅ ㇸ 2 + ൅，f(2๘ ㇸ— 8 + 12 + 18 + ൅ ㇸ 22 + ൅， f(2๘ ㇸ f( — 2๘， 在( — 1,3๘上 f(x๘ ㇸ 0， f(x๘在( — 1,2]上单调递增， 又由于 f(x๘在[ — 2, — 1๘上单调递减， f( — 1๘是 f(x๘的极小值，且 f( — 1๘ ㇸ ൅ — 5， f(2๘和 f( — 1๘分别是 f(x๘在区间[ — 2,2]上的最大值和最小值，于是有 22 + ൅ ㇸ 20，解得 ൅ ㇸ— 2． 18.（12 分）解：(Ⅰ๘ 函数 f(x๘ ㇸ— x3 + ൅x2 + ㇸx 的图象在 x ㇸ 1 处的切线方程为 y ㇸ— 3x + ㇸ， ， ，则 ，解得 ൅ ㇸ— 2； (Ⅱ๘ f(x๘ — b ㇸ 0， f x ㇸb， 由(Ⅰ๘得 ，令 ，解得 x ㇸ 2或 x ㇸ— 2， 3 当— 2 ሻ x ሻ 2 时， 0 /> ， f(x๘在( — 2, 2 ๘上单调递增， 3 3 当 x ሻ— 2 或x ㇸ 2时， 0 /> ， f(x๘在 — œ, — 2 和( 2 , + œ๘上单调递减， 3 3 所以 f(x๘在 x ㇸ— 2 处取得极小值 f — 2 ㇸ— 8，在 x ㇸ 2处取得极大值 f( 2 ๘ ㇸ ㇸ0 ， 3 3 27 所以当— 8 ሻ b ሻ ㇸ0时，y ㇸ f(x๘的图象与直线 y ㇸ b 有三个交点， 27 那么方程 f(x๘ — b ㇸ 0 有三个实数解，故实数 b 的取值范围为( — 8, ㇸ0 ๘． 27 19.（12 分）解：(1๘先考虑大于 43251 的数，分为以下三类 第一类：以 5 打头的有：Aㇸ ㇸ 2ㇸ， 第二类：以 45 打头的有：A3 ㇸ͸， ㇸ 3 第三类：以 435 打头的有：A2 ㇸ 2， 故不大于 43251 的五位数有：A5 — (Aㇸ + A3 + A2๘ ㇸ 88(个๘， 2 即 43251 是第 88 项． 5 ㇸ 3 2 (2๘1 开头的五位数有Aㇸ ㇸ 2ㇸ；2 开头的五位数有Aㇸ ㇸ 2ㇸ；3 开头的五位数有Aㇸ ㇸ 2ㇸ； ㇸ ㇸ ㇸ ㇸ 4 开头的五位数有Aㇸ ㇸ 2ㇸ；所以 1、2、3、4 开头的五位数共有 96 个所以第 96 项是 4 开头最大的数，即 45321． 20.（12 分）(1๘二项式展开式中各项系数之和就是二项式展开式中各项的二项式系数之和 二项式展开式中各项系数之和为C0 + C1 + C2 + … + Cn ㇸ 2n， n n n n (2๘展开式中第 9 项，第 10 项，第 11 项的二项式系数分别是C8，C9，C10，依题意得C8 + C10 ㇸ 2C9， n n n n n n 写 成 n！ 8좰(n—8๘좰 + n！ 10좰(n—10๘좰  ㇸ 2 n！ 9좰(n—9๘좰 化简得 90 + (n — 9๘(n — 8๘ ㇸ 2 10(n — 8๘， 即：n2 — 37n + 322 ㇸ 0，解得 n ㇸ 1ㇸ或 n ㇸ 23； 1ㇸ—r r ㇸ2—r 1ㇸ 1ㇸ (3๘展开式的通项为Tr+1 ㇸCr x 2 x3 ㇸ Cr x ͸ ， 展开式中的有理项当且仅当 r 是 6 的倍数，又 0 ≤ r ≤ 1ㇸ， 展开式中的有理项共 3 项是 r ㇸ 0，r ㇸ ͸，r ㇸ 12， 展开式中的有理项是T1 ㇸC0 x7 ㇸx7，T7 ㇸ C͸ x͸ ㇸ 3003x͸，T13 ㇸC12x5 ㇸ 91x5． 1ㇸ 1ㇸ 1ㇸ 21.（12 分）解：(Ⅰ๘ 函数 f(x๘ ㇸ x2 + ൅lnx， 函数 f(x๘的定义域为(0, + œ๘． 当 ൅ ㇸ— 2 时，f(x๘ ㇸ 2x — 2 ㇸ 2(x+1๘(x—1๘． x x x (0,1๘ 1 (1, + œ๘ f(x๘ — 0 + f(x๘ 递减 极小值 递增 当 x 变化时，f(x๘和 f(x๘的值的变化情况如下表： 由上表可知，函数 f(x๘的单调递减区间是(0,1๘、单调递增区间是(1, + œ๘、极小值是 f(1๘ ㇸ 1． (Ⅱ๘ 由 g(x๘ ㇸ x2 + ൅lnx + 2，得 g(x๘ ㇸ 2x + ൅ — 2 ． x x x2 若函数 g(x๘为[1, + œ๘上的单调增函数，则 g(x๘ ≤ 0 在[1, + œ๘上恒成立， 即不等式 2x — 2 + ൅ ≤ 0 在[1, + œ๘上恒成立．也即 ൅ ≤ 2 — 2x2在[1, + œ๘上恒成立． x2 x x 令 (x๘ ㇸ 2 — 2x2，则 (x๘ ㇸ— 2 — ㇸx．当 x C [1, + œ๘时， (x๘ ㇸ— 2 — ㇸx ሻ 0， x x2 x2 x (x๘ ㇸ 2 — 2x2在[1, + œ๘上为减函数， (x๘n൅x ㇸ (1๘ ㇸ 0． ൅ ≤ 0． ൅ 的取值范围为[0, + œ๘． 22.（12 分）解：(1๘由 f(x๘ ≤ 0，得 xlnx + ൅x + 1 ≤ 0(x ㇸ 0๘．整理，得— ൅ ≤ lnx + 1恒成立，即— ൅ ≤ (lnx + 1 ๘n쳌n． x x 令 F(x๘ ㇸ lnx + 1 .则 F(x๘ ㇸ 1 — 1 ㇸx—1． x x x2 x2 函数 F(x๘在(0,1๘上单调递减，在(1, + œ๘上单调递增． 函数 F(x๘ ㇸ lnx + 1的最小值为 F(1๘ ㇸ 1． x — ൅ ≤ 1，即 ൅ ≤— 1． ൅ 的取值范围是[ — 1, + œ๘． 证明：(2๘由(1๘，当 ൅ ㇸ— 1 时，有 xlnx ≤ x — 1，即 lnx ≤ x—1． x 要证e(x—1๘ ሻ lnx，可证e(x—1๘ ሻ x—1，x ㇸ 1，即证e ሻ 1，x ㇸ 1． ex ex x ex x 构造函数 G(x๘ ㇸ ex — ex(x ≤ 1๘.则 ． 当 x ㇸ 1 时， 0. G(x)/>在[1, + œ๘上单调递增． G(x๘ ㇸG(1๘ ㇸ 0 在(1, + œ๘上成立，即ex ㇸex，证得e ሻ 1． ex x 当 x C (1, + œ๘时，e(x—1๘ ሻ lnx 成立． e 构造函数 H(x๘ ㇸ lnx — x2 + x(x ≤ 1๘． 则 H(x๘ ㇸ 1 — 2x + 1 ㇸ —(2x2—x—1๘ ㇸ—(2x+1๘(x—1๘． x x x 当 x ㇸ 1 时， ， H(x๘在[1, + œ๘上单调递减． H(x๘ ሻ H(1๘ ㇸ 0， 即 lnx — x2 + x ሻ 0(x ㇸ 1๘． 当 x C (1, + œ๘时，lnx ሻ x2 — x 成立． 综上，当 x C (1, + œ๘时，有e(x—1๘ ሻ lnx ሻ x2 — x． e