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第二讲 三角恒等变换与解三角形
(40分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2= ( )
A.3 B. -12 C.13 D.12
【解析】选B.因为cos α=-45,α是第三象限的角,所以sin α=-35,则
1+tanα21-tanα2=cosα2+sinα2cosα2-sinα2=1+sinαcosα=-12.
2.设a=2sinπ5cosπ5,b=cos25-sin25,c=tan301-tan230,则 ( )
A.a
tan A,则角A所对的边最小.由tan A=14可知sin A=1717,由正弦定理asinA=csinC,得a=sin AcsinC=17171722=2.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面积S=312c,则ab的最小值为 ( )
A.12 B.13 C.16 D.3
【解析】选B.由题意得2sin Ccos B=2sin A+sin B⇒
2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin B⇒cos C=-12,
所以S=12absin C=34ab=312c⇒c=3ab.
因为cos C=a2+b2-c22ab,所以-12=a2+b2-9a2b22ab≥2ab-9a2b22ab,解得ab≥13,
当且仅当a=b=33时,等号成立,即ab的最小值为13.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知tan α=4,则sinα-2cosα3cosα+2sinα=____________.
【解析】sinα-2cosα3cosα+2sinα=tanα-23+2tanα=4-23+24=211.
答案:211
7.若tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的两个根,且α,β∈-π2,π2,则α+β=____________.
【解析】因为tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的两个根,所以tan α+tan β=-5,tan αtan β=6,所以tan α<0,tan β<0,所以tan(α+β)= tanα+tanβ1-tanαtanβ=-51-6=1,
又因为α,β∈-π2,π2,所以α+β=-34π.
答案:-34π
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若c=2acos B, S=12a2-14c2,则C的大小为____________.
【解析】因为c=2acos B,所以sin C=2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,所
以tan A=tan B,所以A=B,又因为S=12a2-14c2,所以a22sin C=a22-c24,由正弦定理得
sin C=1-12sinCsinA2,因为A=B,所以sin A=cosC2,所以sin C=cos C,所以C=π4.
答案:π4
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,已知a=2,b2+c2-4=43S,B>A,2sin Bsin C=cos A.
(1)求A的值.
(2)判断△ABC的形状并求△ABC的面积.
【解析】(1)因为b2+c2-4=43S,所以b2+c2-a2=4312bcsin A,由余弦定理得,
cos A=3sin A,所以tan A=33,因为A∈(0,π),所以A=π6.
(2)因为2sin Bsin C=cos A,A+B+C=π,
所以2sin Bsin C=-cos(B+C)
=sin Bsin C-cos Bcos C,
即sin Bsin C+cos Bcos C=0,
cos(B-C)=0,所以B-C=π2或C-B=π2.
(ⅰ)当B-C=π2时,由第(1)问知A=π6,所以B=2π3,C=π6,所以△ABC是等腰三角形, S=12acsin B=3;
(ⅱ)当C-B=π2时,由第(1)问知A=π6,所以C=2π3,B=π6,又因为B>A,矛盾,舍去.综上,△ABC是等腰三角形,其面积为3.
10.已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求sin∠Bsin∠C.
(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.
【解析】(1)S△ABD=12ABADsin∠BAD,
S△ADC=12ACADsin∠CAD,
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC,
在△ABC中,由正弦定理得:ACsin∠B=ABsin∠C,所以sin∠Bsin∠C=ACAB=12.
(2)设∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ.
由(1)知ACAB=bc=12,所以c=2b①,
因为CD=22,所以BD=2,
在△ACD中,由余弦定理得,
b2=1+222-2122cos(π-θ),
即b2=32+2cos θ②,
在△ABD中,由余弦定理,c2=1+2-212cos θ,即c2=3-22cos θ③,
由①②③得b=1,故AC=1.
11.在锐角△ABC中,2sinB-C2cosB-C2+2cos Bsin C=32.
(1)求角A.
(2)若BC=7,AC=2,求△ABC的面积.
【解析】(1)因为2sinB-C2cosB-C2+2cos Bsin C=32,
所以sin(B-C)+2cos Bsin C=32,
则sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=32,即sin A=32,
由△ABC为锐角三角形得A=π3.
(2)在△ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-22c12,化简得c2-2c-3=0,解得c=3(负根舍去),
所以S△ABC=12bcsin A=332.
【提分备选】
1.如图所示,某镇有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=33 km,∠AOB=90.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上,且∠MON=30,挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山,剩下的△OBN地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在△OAN的周围安装防护网.
(1)当AM=32km时,求防护网的总长度.
(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的3倍,试确定∠AOM的大小.
(3)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△OMN的面积最小?最小面积是多少?
【解析】(1)因为在△OAB中,OA=3,OB=33,∠AOB=90,所以∠OAB=60,
在△AOM中,OA=3,AM=32,∠OAM=60,
由余弦定理,得OM=332,
所以OM2+AM2=OA2,即OM⊥AN,所以∠AOM=30,
所以△OAN为正三角形,所以△OAN的周长为9,
即防护网的总长度为9 km.
(2)设∠AOM=θ(0<θ<60),
因为S△OMN=3S△OAM,
所以12ONOMsin 30=312OAOMsin θ,即ON=63sin θ,
在△OAN中,由ONsin60=OAsin(θ+60+30)=3cosθ,
得ON=332cosθ,
从而63sin θ=332cosθ,所以sin 2θ=12,
所以θ=15,即∠AOM=15.
(3)设∠AOM=α(0<α<60),由(2)知ON=332cosα,又在△AOM中,由OMsin60=OAsin(α+60),得OM=332sin(α+60),
所以S△OMN=12OMONsin 30=2716sin(α+60)cosα
=27812sin2α+32cos2α+32
=278sin(2α+60)+43,
所以当且仅当2α+60=90,即α=15时,
△OMN的面积取最小值为27(2-3)4 km2.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(2a-c)cos B=bcos C.
(1)求B的大小.
(2)如图,AB=AC,在直线AC的右侧取点D,使得AD=2CD=4.当角D为何值时,四边形ABCD的面积最大?
【解析】(1)因为(2a-c)cos B=bcos C,
所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
所以2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,
所以2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,
因为sin A≠0,
所以cos B=12,
所以B=π3.
(2)因为AB=AC,B=π3,
所以△ABC为等边三角形,
若四边形ABCD面积最大,
则△ADC的面积最大,
设AC=x,在△ADC中,由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2-2CDADcos D=4+16-2
24cos D,
所以cos D=20-x216,
所以sin D=162-(20-x2)216,当x2=20,即x=25时,-(20-x2)2+162最大,即sin D最大,最大为1,
因为S△ADC=12CDADsin D=4sin D,
所以当D=π2时,S△ADC最大,
所以当D=π2时,四边形ABCD的面积最大.
3.已知△ABC为锐角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量q=
(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量.
(1)求角A.
(2)求函数y=2sin2B+cosC-3B2的最大值.
【解析】(1)因为p,q共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)
=(cos A+sin A)(sin A-cos A),
则sin2A=34.
又A为锐角,所以sin A=32,则A=π3.
(2)y=2sin2B+cosC-3B2=2sin2B+cosπ-π3-B-3B2=2sin2B+cosπ3-2B=1-cos 2B +12cos 2B+32sin 2B
=32sin 2B-12cos 2B+1=sin2B-π6+1.
因为B∈0,π2,所以2B-π6∈-π6,5π6,所以当2B-π6=π2即B=π3时,
函数y取得最大值,ymax=2.
(20分钟 20分)
1.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tanπ4+A=2.
(1)求sin2Asin2A+cos2A的值.
(2)若B=π4,a=3,求△ABC的面积.
【解析】(1)由tanπ4+A=2,得tan A=13.
所以sin2Asin2A+cos2A=2tanA2tanA+1=25.
(2)由tan A=13,A∈(0,π),
得sin A=1010,cos A=31010.
又由a=3,B=π4及正弦定理asinA=bsinB,得b=35.
由sin C=sin(A+B)=sinA+π4,得sin C=255,
设△ABC的面积为S,则S=12absin C=9.
2.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.
(1)证明:sin AsinB=sin C.
(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.
【解析】(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,可知原式可以化解为cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,因为A和B为三角形内角,所以sin Asin B≠0,
则两边同时乘以sin Asin B,可得sin Bcos A+sin Acos B=sin Asin B,
由和角公式可知,sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,原式得证.
(2)由题b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理可知,cos A=b2+c2-a22bc=35.
因为A为三角形内角,A∈(0,π),sin A>0,则sin A=1-352=45,即cosAsinA=34,由(1)可知cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,所以cosBsinB=1tanB=14,
所以tan B=4.
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