2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质限时训练 理.doc

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第1讲　直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质 (限时:45分钟) 【选题明细表】 知识点、方法 题号 直线与圆 1,6,12,15 圆锥曲线的定义及应用 5,9,10 圆锥曲线的方程 4,8,16 圆锥曲线的几何性质 2,3 圆锥曲线的离心率 7,11,13,14 一、选择题 1.(2018吉林长春市一模)已知圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为(a,b),则a2+b2等于(　D　) (A)8 (B)16 (C)12 (D)13 解析:由圆的标准方程可知圆心为(2,-3),即a2+b2=13.故选D. 2.(2018浙江卷)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是(　B　) (A)(-2,0),(2,0) (B)(-2,0),(2,0) (C)(0,-2),(0,2) (D)(0,-2),(0,2) 解析:因为双曲线方程为x23-y2=1, 所以a2=3,b2=1,且双曲线的焦点在x轴上, 所以c=a2+b2=3+1=2, 即得该双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).故选B. 3.(2018淮南二模)已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点,F1(-7,0),双曲线右支上一点P,满足|PF1|-|PF2|=4,则它的渐近线方程为(　A　) (A)y=32x (B)y=233x (C)y=34x (D)y=43x 解析:因为F1(-7,0), 所以c=7, 因为双曲线右支上一点P,满足|PF1|-|PF2|=4, 所以2a=4,即a=2, 则b2=c2-a2=7-4=3, 即b=3, 则双曲线的渐近线方程为y=bax=32x.故选A. 4.(2018河南二模)已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3),则此双曲线的方程为(　A　) (A)y29-x216=1 (B)y24-x23=1 (C)y216-x29=1 (D)y23-x24=1 解析:因为双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2, 所以以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3), 所以16+9=c2,3=ab4,a2+b2=c2, 解得a=3,b=4, 所以双曲线的方程为y29-x216=1.故选A. 5.设F1,F2分别是双曲线x2-y224=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　C　) (A)42 (B)83 (C)24 (D)48 解析:a2=1,b2=24, 所以c2=a2+b2=25, 所以c=5. 因为|PF1|-|PF2|=2a=2,3|PF1|=4|PF2|, 所以|PF1|=8,|PF2|=6. 又|F1F2|=2c=10,所以∠F1PF2=90. 所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|=24.故选C. 6.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|等于(　C　) (A)26 (B)8 (C)46 (D)10 解析:设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2,再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-226,则|MN|=|(-2+26)- (-2-26)|=46.故选C. 7.(2017全国Ⅲ卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　A　) (A)63 (B)33 (C)23 (D)13 解析:圆心(0,0)到直线的距离等于圆的半径a, 即2aba2+b2=a, 解得a2=3b2,c2=a2-b2=2b2, 所以e2=c2a2=23,e=63,故选A. 8.(2018天津卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的 同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　A　) (A)x23-y29=1 (B)x29-y23=1 (C)x24-y212=1 (D)x212-y24=1 解析:设双曲线的右焦点为F(c,0). 将x=c代入x2a2-y2b2=1,得c2a2-y2b2=1, 所以y=b2a. 不妨设A(c,b2a),B(c,-b2a). 双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0, 则d1=|bc-ab2a|b2+(-a)2=|bc-b2|c=bc(c-b), d2=|bc+ab2a|b2+(-a)2=|bc+b2|c=bc(c+b), 所以d1+d2=bc2c=2b=6, 所以b=3. 因为ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3, 所以双曲线的方程为x23-y29=1.故选A. 9.(2018郑州市二次质量预测)已知椭圆C:x2a+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为23,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为(　D　) (A)x23+y2=1 (B)x23+y22=1 (C)x29+y24=1 (D)x29+y25=1 解析:由椭圆的定义,知 |AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, 所以△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12, 所以a=3. 因为椭圆的离心率e=ca=23, 所以c=2,所以b2=a2-c2=5, 所以椭圆C的方程为x29+y25=1, 故选D. 10.(2018福州市质检)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交C于A,B两点,若|AF|=3|BF|=3,则p等于(　C　) (A)3 (B)2 (C)32 (D)1 解析:如图,分别过点A,B作准线l的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于D,BD交x轴于E. 由已知条件及抛物线定义得|BB1|=|BF|=1,|AA1|=|AF|=3, 所以|AD|=3-1=2. 在Rt△ABD中,因为|AB|=4,|AD|=2, 所以∠ABD=30, 所以|EF|=12|BF|=12, 所以焦点F到准线的距离为12+1=32, 即p=32.故选C. 11.(2018漳州模拟)已知直线l:kx-y-2k+1=0与椭圆C1:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)交于A,B两点,与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1交于C,D两点,若存在 k∈[-2,-1],使得AC→=DB→,则椭圆C1的离心率的取值范围是(　C　) (A)(0,12] (B)[12,1) (C)(0,22] (D)[22,1) 解析:直线l:kx-y-2k+1=0, 即为k(x-2)+1-y=0, 可得直线恒过定点(2,1), 圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1的圆心为(2,1),半径为1, 且C,D为直径的端点, 由AC→=DB→,可得AB的中点为(2,1), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1, 两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0, 又由x1+x2=4,y1+y2=2, 可得k=y1-y2x1-x2=-2b2a2, 由-2≤k≤-1, 即有12≤b2a2≤1, 则椭圆C1的离心率e=ca=1-b2a2∈(0,22]. 故选C. 12.已知不等式组x+y-22≥0,x≤22,y≤22表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P,作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A,B,当四边形PAOB的面积最小时,cos∠APB 的值为(　B　) (A)78 (B)12 (C)34 (D)32 解析:作出平面区域Ω和单位圆x2+y2=1的图象如图所示,设l: x+y-22=0,数形结合可得S四边形PAOB=2S△PAO =212|PA|1 =|PA|. 又因为|PA|=|OP|2-|OA|2=|OP|2-1, 所以当P到原点距离最小时,四边形PAOB的面积最小,此时PO⊥l,且|PO|=|-22|2=2,故∠APO=π6,所以∠APB=π3,cos∠APB=12.故选B. 二、填空题 13.(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值为 　　　　. 解析:双曲线的渐近线方程为bxay=0,焦点F(c,0)到渐近线的距离d=|bc+0|b2+a2=b. 所以b=32c, 所以a=c2-b2=12c, 所以e=ca=2. 答案:2 14.(2018上饶三模)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+2上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为　　　　. 解析:椭圆C以A,B为焦点且经过点P, 则c=1, 因为P在直线l:y=x+2上移动, 所以2a=|PA|+|PB|, 过A作直线y=x+2的对称点M, 设M(m,n),则由nm+1=-1,12n=12(m-1)+2, 解得m=-2,n=1, 即有M(-2,1), 则此时2a=|PA|+|PB|≥|MD|+|DB|=|BM|=10, 此时a有最小值102, 对应的离心率e有最大值105. 答案:105 15.(2017天津卷)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120,则圆的方程为　. 解析:由y2=4x可得点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1. 由圆心C在l上,且圆C与y轴正半轴相切(如图),可得点C的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO=90.又因为∠FAC=120, 所以∠OAF=30, 所以|OA|=3, 所以点C的纵坐标为3. 所以圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=1. 答案:(x+1)2+(y-3)2=1. 16.(2018太原市模拟)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F2,则该双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　　　　. 解析:由题意知|OF2|=|OM|=5,所以F2(5,0), 即c=5.所以a2+b2=c2=25, ① 又9a2-16b2=1, ② 所以a2=5,b2=20, 所以双曲线的标准方程为x25-y220=1. 答案:x25-y220=1