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提分专练(三) 一次函数与反比例函数综合
1.[xx济宁] 如图T3-1,点A是反比例函数y=4x(x>0)图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C.过点A作AD⊥x轴,垂足为D,连接DC,若△BOC的面积是4,则△DOC的面积是 .
图T3-1
2.[xx安顺] 如图T3-2,已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,与y=k2x的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+12n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b>k2x的解集是x<-2或0
0的解集.
图T3-6
7.[xx菏泽] 如图T3-7,已知点D在反比例函数y=ax的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC∶OA=2∶5.
(1)求反比例函数y=ax和一次函数y=kx+b的表达式;
(2)直接写出关于x的不等式ax>kx+b的解集.
图T3-7
8.[xx黄冈] 已知:如图T3-8,一次函数y=-2x+1与反比例函数y=kx的图象有两个交点A(-1,m)和B,过点A作AE⊥x轴,垂足为点E;过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,且点D的坐标为(0,-2),连接DE.
(1)求k的值;
(2)求四边形AEDB的面积.
图T3-8
参考答案
1.23-2 [解析] 根据直线y=kx+b与两坐标轴分别交于B,C两点,则点B的坐标为-bk,0,点C的坐标为(0,b),而△BOC的面积为4,则12bkb=4,即k=b28,则直线的表达式为y=b28x+b.设点A的坐标为m,4m,则b28m+b=4m,即b2m2+8bm=32,解得bm=43-4(负值舍去),∵S△COD=12CODO=12bm=23-2,因此本题答案为23-2.
2.②③④ [解析] 由图象知,k1<0,k2<0,∴k1k2>0,故①错误;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k2x中得k2=-2m=n,∴m+12n=0,故②正确;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k1x+b中得m=-2k1+b,n=k1+b,解得k1=n-m3,b=2n+m3.∵-2m=n,∴y=-mx-m.∵直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,∴P(-1,0),Q(0,-m).∴OP=1,OQ=m.∴S△AOP=12m,S△BOQ=12m,即S△AOP=S△BOQ,故③正确;由图象知,不等式k1x+b>k2x的解集是x<-2或00,b>0,而当x=-1时,y=-a+b<0,从而a-b>0,反比例函数图象应该在第一、三象限,故选项B错误;由选项C,D中直线的位置,可知a<0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b>0,从而a-b<0,反比例函数图象应该在第二、四象限,故选项C,D错误.故答案为A.
4.解:(1)把(1,4)代入y=kx,得k=14=4,
所以反比例函数的解析式为y=4x.
把(1,4)代入y=-x+b,得-1+b=4,解得b=5,
所以直线的解析式为y=-x+5.
(2)当y=0时,-x+5=0,解得x=5,则B(5,0),
所以△AOB的面积为1254=10.
5.解:(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A,B两点,且AD⊥x轴于D,
∴∠ADO=90,在Rt△ADO中,AD=4,sin∠AOD=45,∴ADAO=45,
∴AO=5,
由勾股定理得:DO=AO2-AD2=52-42=3,
∴A(-3,4),
把A(-3,4)代入y=mx中得m=-12,
∴反比例函数的解析式为y=-12x.
又∵B点在反比例函数y=-12x的图象上,
∴n(-2)=-12,∴n=6,∴B(6,-2),
把A(-3,4),B(6,-2)代入y=kx+b中得-3k+b=4,6k+b=-2,
解得k=-23,b=2,
∴一次函数的解析式为y=-23x+2.
(2)E点坐标分别为E1(0,8),E2(0,5),E3(0,-5),E40,258.
6.解:(1)把A(-4,2)代入y=mx,得m=2(-4)=-8.
所以反比例函数的解析式为y=-8x.
把B(n,-4)代入y=-8x,得-4n=-8,解得n=2.
把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b,
得-4k+b=2,2k+b=-4.解得k=-1,b=-2.
所以一次函数的解析式为y=-x-2.
(2)在y=-x-2中,令y=0,则x=-2,
即直线y=-x-2与x轴交于点C(-2,0),
∴OC=2.
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=1222+1224=6.
(3)由图可得,不等式kx+b-mx>0的解集为x<-4或00时,反比例函数y=-6x的图象在一次函数y=25x-2的图象的下方;
∴不等式ax>kx+b的解集是x<0.
8.解:(1)将点A(-1,m)代入一次函数y=-2x+1得,-2(-1)+1=m,∴m=3.
∴A点的坐标为(-1,3).
将A(-1,3)代入y=kx得,k=(-1)3=-3.
(2)如图,设直线AB与y轴相交于点M,则点M(0,1).
∵点D(0,-2),∴MD=3.
又∵A(-1,3),AE∥y轴,
∴E(-1,0),AE=3.
∴AE∥MD,AE=MD.
∴四边形AEDM为平行四边形.
∵BD∥x轴,且D(0,-2),
∴把y=-2代入y=-2x+1,得x=32,
∴B32,-2.
∴S四边形AEDB=S△MDB+S平行四边形AEDM=12323+31=214.
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