2020版高考数学一轮复习 选修4系列 课时规范练54 坐标系与参数方程 文 北师大版.doc

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课时规范练54　坐标系与参数方程 基础巩固组 1.已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 2.(2019届广东珠海9月摸底,22)在直角坐标系xOy中,直线l过定点P(1,-3)且与直线OP垂直.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-2cos θ=0. (1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程; (2)设直线l与曲线C交于A、B两点,求1|PA|+1|PB|的值. 3.(2018河南一模,22)在直角坐标系xOy中,已知直线l1:x=tcosα,y=tsinα(t为参数),l2:x=tcos(α+π4),y=tsin(α+π4)(t为参数),其中α∈0,3π4,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ-4cos θ=0. (1)写出l1,l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程; (2)设l1,l2分别与曲线C交于点A,B非坐标原点,求|AB|的值. 4.(2018江西师大附中三模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=1+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin(α-θ)=2sin α.其中α为直线l的倾斜角(α≠0) (1)求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)直线l与x轴的交点为M,与曲线C1的交点分别为A,B,求|MA||MB|的值. 5.(2018湖北5月冲刺,22)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(3,0),倾斜角为π3,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)求直线l的参数方程; (2)若A点在直线l上,B点在曲线C上,求|AB|的最小值. 6.(2018河南郑州摸底)以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为4,π2,若直线l过点P,且倾斜角为π3,圆C以M为圆心,4为半径. (1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程; (2)试判定直线l圆C的位置关系. 综合提升组 7.(2018广西钦州第三次质检,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-3,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-3=0. (1)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围; (2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围. 8.(2018重庆西南大学附中模拟)已知平面直角坐标系xOy中,过点P(-1,-2)的直线l的参数方程为x=-1+t,y=-2+t(t为参数),l与y轴交于点A,以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcos θ(m>0),直线l与曲线C交于M、N两点. (1)求曲线C的直角坐标方程和点A的一个极坐标; (2)若PN=3PM,求实数m的值. 创新应用组 9.(2018河北衡水中学押题一)已知直线l的参数方程为x=4+22t,y=22t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点. (1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长; (2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值. 10.(2018湖南长沙模拟二)在直角坐标系xOy中,直线l的方程是x=22,曲线C的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα(α为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l和曲线C的极坐标方程; (2)射线OM:θ=β其中0<β≤5π12与曲线C交于O,P两点,与直线l交于点M,求|OP||OM|的取值范围.  课时规范练54　坐标系与参数方程 1.解 (1)曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到直线l的距离为d=55|4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|=dsin30 =255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43. 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255. 2.解 (1)曲线C的直角坐标方程为y2=2x, 直线l的参数方程为 x=1+32t,y=-3+12t(t为参数). (2)设点A、B对应的参数分别为t1、t2, 将直线l与曲线C的方程联立得t2-83t+4=0,(*) 可知t1,t2是(*)式的两根, 则t1+t2=83,t1t2=4, 故t1、t2同正. 1|PA|+1|PB|=1t1+1t2=t1+t2t1t2=834=23. 3.解 (1)l1,l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R),θ2=α+ (ρ∈R). 曲线C的极坐标方程为ρ-4cos θ=0,即为ρ2-4ρcos θ=0, 利用ρ2=x2+y2,x=ρcos θ, 得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4. (2)因为ρ1=4cos α,ρ2=4cosα+π4, 所以|AB|2=ρ12+ρ22-2ρ1ρ2cosπ4=16cos2α+cos2α+π4-2cos αcosα+π4 =16cos2 α+12(cos α-sin α)2-cos α(cos α-sin α)=8, 所以|AB|的值为22. 4.解 (1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=4, 直线l的直角坐标方程为xsin α-ycos α=2sin α. (2)直线l与x轴的交点为M(2,0),直线l的参数方程可设为x=2+tcosα,y=tsinα,(t为参数),将直线l的参数方程代入圆C1的方程(x-1)2+y2=4, 得t2+2tcos α-3=0, 故|MA||MB|=|t1t2|=3. 5.解 (1)直线l的参数方程为 x=3+tcos π3,y=tsinπ3(t为参数), 即x=3+12t,y=32t(t为参数). (2)由x=3+12t,y=32t, 得3x-y-3=0. 由ρ=2sin θ 得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0, 即x2+(y-1)2=1. 所以曲线C是以点Q(0,1)为圆心,1为半径的圆. 又点Q到直线l:3x-y-3=0的距离为d=|30-1-3|2=2. 故|AB|的最小值为2-1=1. 6.解 (1)直线l的参数方程为x=1+tcos π3,y=-5+tsinπ3(t为参数), 则x=1+12t,y=-5+32t(t为参数),M点的直角坐标为(0,4), 圆C的方程为x2+(y-4)2=16,且x=ρcosθ,y=ρsinθ, 代入得圆C极坐标方程为ρ=8sin θ. (2)直线l的普通方程为3x-y-5-3=0, 圆心M到直线l的距离为d=|-4-5-3|2=9+32>4, ∴直线l与圆C相离. 7.解 (1)将曲线C的极坐标方程ρ2-2ρcos θ-3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0,直线l的参数方程为x=-3+tcosα,y=tsinα(t为参数), 将参数方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcos α+12=0. ∵直线l与曲线C有公共点, ∴Δ=64cos2α-48≥0, ∴cos α≥32,或cos α≤-32. ∵α∈[0,π), ∴α的取值范围是0,π6∪5π6,π. (2)曲线C的方程x2+y2-2x-3=0可化为(x-1)2+y2=4, 其参数方程为x=1+2cosθ,y=2sinθ,(θ为参数), ∵M(x,y)为曲线上任意一点, ∴x+y=1+2cos θ+2sin θ=1+22sinθ+π4, ∴x+y的取值范围是[1-22,1+22 ]. 8.解 (1)∵ρsin2θ=mcos θ,∴ρ2sin2θ=mρcos θ, ∴y2=mx(m>0), A点坐标为(0,1), 其一个极坐标为A1,32π. (2)将x=-1+t,y=-2+t,代入y2=mx,得t2-(4+m)t+m+4=0. ∵PN=3PM,∴t1=3t2. ∴t1=3t2,t1+t2=m+4,t1t2=m+4,∴m=43. 9.解 (1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcos θ, 所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4. 将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+22t=0, 解得t1=0,t2=-22. 所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=22. (2)直线l的普通方程为x-y-4=0. 圆C的参数方程为 x=2+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数), 可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ), 则点P到直线l的距离d=|2+2cosθ-2sinθ-4|2=2cosθ+π4-2. 当cosθ+π4=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+2. 所以S△ABP≤1222(2+2)=2+22. 即△ABP的面积的最大值为2+22. 10.解 (1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴直线l的极坐标方程是ρcos θ=22, 由x=2cosα,y=2+2sinα,消参数得x2+(y-2)2=4, ∴曲线C的极坐标方程是 ρ=4sin θ. (2)将θ=β分别代入ρ=4sin θ,ρcos θ=22,得|OP|=4sin β,|OM|=22cosβ, ∴|OP||OM|=22sin 2β. ∵0<β≤5π12,∴0<2β≤5π6, ∴0<22sin 2β≤22, ∴|OP||OM|的取值范围是0,22.