河南省2019年中考数学总复习 核心母题一 全等在几何探究题中的应用深度练习.doc

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全等在几何探究题中的应用 深度练习 1．(xx襄阳)如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F. (1)证明与推断： ①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：的值为________； (2)探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0＜α＜45)，如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2，则BC＝______． 2．(xx益阳)如图①，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30. (1)求证：BE＝CE； (2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N(如图②)． ①求证：△BEM≌△CEN； ②若AB＝2，求△BMN面积的最大值； ③当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图③)，求sin∠EBG的值． 参考答案 1．(1)证明： ①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90，∠BCA＝45. ∵GE⊥BC，GF⊥CD， ∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90. ∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45. ∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形． ②＝. (2)解：如解图①，连接CG，由旋转性质可知∠BCE＝∠ACG＝α. 在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos 45＝，＝cos 45＝. ∴＝＝.∴△ACG∽△BCE.∴＝＝. ∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE. (3)解：如解图②，连接DF，由(2)知△BCE∽△ACG， ∴∠BEC＝∠AGC. ∵四边形CEGF是正方形， ∴∠CEF＝∠CFE＝∠CGF＝ 45，CG⊥EF. ∵∠BEC＝180－∠CEF＝135，∴∠AGC＝135. ∴∠AGC＋∠CGF＝135＋45＝180. ∴A，G，F三点在一条直线上． 又∠BCD＝∠ECF＝90， ∴∠BCE＝∠DCF. 而BC＝DC，EC＝FC， 第1题解图② ∴△BEC≌△DFC(SAS)． ∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFC. ∵＝，AG＝6， ∴BE＝DF＝3. ∵∠BEC＝135，∠CFE＝45， ∴∠BFD＝∠DFC－∠CFE＝135－45＝90. 又CH⊥BF，∴CH∥DF. ∴△AGH∽△AFD.∴＝＝. ∴＝＝. ∴GF＝3，＝. 设AH＝2x，则AD＝3x，DH＝x. 又由正方形ABCD和正方形CEGF，知AD＝CD＝3x，GC＝GF＝3， ∴在Rt△CDH中，由DH2＋CD2＝CH2，得x2＋(3x)2＝(2＋3)2， 解得x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)． ∴AD＝3，即BC＝3. 故答案为3. 2．解：(1)∵矩形ABCD，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90， ∵AE＝DE，∴△ABE≌△DCE， ∴BE＝CE； (2)①∵∠AEB＋∠ABE＝90，∠AEB＋∠CED＝90， 第2题解图 ∴∠ABE＝∠CED， ∵∠CED＝∠ECB， ∴∠ABE＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠MEN＝90， ∴∠BEM＝∠CEN，由(1)得BE＝CE， ∴△BEM≌△CEN； ②由(1)得△ABE≌△DCE， ∴∠BEA＝∠CED， ∵∠ABE＝∠CED，∴∠BEA＝∠ABE， ∴AB＝AE＝DE＝2， 设BM＝x，由①得△BEM≌△CEN， ∴BM＝CN＝x，∴BN＝4－x， ∴△BMN面积＝x(4－x)＝－(x－2)2＋2，又0≤x≤2，∴当x＝2时，△BMN面积最大，最大值为2. ③如解图，过点E作EH⊥FG于点H.在Rt△ABF中，∠F＝30，AB＝2， ∴FA＝2，∴FE＝FA＋AE＝2＋2， ∴EH＝＋1， 在Rt△BEH中， ∵BE＝2， ∴sin∠EBG＝＝＝.