青海省西宁市2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）.doc

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西宁市2017-2018学年度第二学期末调研测试卷 高一数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内） 1.1.设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 当时，选项A错误； 当时，选项B错误； 当时，选项C错误； ∵函数在上单调递增， ∴当时，． 本题选择D选项. 点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 2. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（　　） A. 白色 B. 黑色 C. 白色可能性大 D. 黑色可能性大 【答案】A 【解析】 由图可知，珠子出现的规律是3白2黑、3白2黑依次进行下去的特点，据此可知白、黑珠子的出现以5为周期，又……1，故第36颗珠子应该是白色的，故选A． 3.3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 (　 　) A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 【答案】C 【解析】 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．选C. 4.4.在ΔABC中，∠A=60，a=6，b=2，则ΔABC解的情况（ ） A. 无解 B. 有唯一解 C. 有两解 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正弦定理，结合题中数据解出sinB，再由∠B+∠C=180∘−∠A=120∘，得出 B<120∘,∴∠B=30∘，从而∠C=90∘，由此可得满足条件的ΔABC有且只有一个. 【详解】 ∵ΔABC中，∠A=60∘,a=6,b=2， ∴根据正弦定理，得sinB=bsinAa=2326=12， ∵∠A=60∘，得∠B+∠C=120∘， ∴由sinB=12，得∠B=30∘，从而得到∠C=90∘， 因此，满足条件的ΔABC有且只有一个，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5.5.一组数据的茎叶图如图所示，则数据落在区间22,30内的概率为 A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】 根据茎叶图10个原始数据落在区间20,30内的个数，由古典概型的概率公式可得结论. 【详解】由茎叶图10个原始数据，数出落在区间20,30内的共有6个， 包括2个22,1个27,1个29，2个30， 所以数据落在区间20,30内的概率为610=0.6，故选D. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式P=mn求得概率. 6.6.设M=a+1a−3，N=2aa−2，则（ ） A. M>N B. M≥N C. M0即可得结果. 【详解】∵N=2aa−2,M=a+1a−3， ∴N−M=2aa−2−a+1a−3， =2a2−4a−a2−2a−3 =a2−2a+3 =a−12+2， ∵a−12≥0， ∴N−M=a−12+2>0恒成立， ∴N−M>0,∴N>M， 即M0∴ax2+bx+c>0的解集是(－∞，－2)∪（3，＋∞）。 考点：主要考查一元二次不等式的概念及解法。 点评：基本题型，一元二次方程的根为“变号零点”。 14.14.右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为_____________. 【答案】9. 【解析】 分析：计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比求得黑色部分的面积. 详解：边长为4的正方形二维码面积为42=16，设图中黑色部分的面积为S， 则S16=225400，解得S=22540016=9. 据此估计黑色部分的面积为9. 故答案为：9. 点睛：本题考查了用模拟实验的方法估计概率的应用计算问题，是基础题. 15.15.若数列an的前n项和为Sn=2n2，则a3+a4的值为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】 由Sn=2n2，根据an=Sn−Sn−1,求出a3、a4的值，从而可得结果. 【详解】因为数列an的前n项和为Sn=2n2， 所以a3=S3−S2=232−222=10， a4=S4−S3=242−232=14， ∴a3+a4=24，故答案为24. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2，将所给条件化为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用Sn与通项an的关系求an的过程中，一定要注意n=1 的情况. 16.16.已知x>2，求fx=2x+1x−2的最小值__________． 【答案】4+22 【解析】 【分析】 化简fx=2x+1x−2=2x−2+1x−2+4，利用基本不等式可得结果. 【详解】∵x>2,∴x−2>0， ∴fx=2x+1x−2=2x−2+1x−2+4 ≥22x−2⋅1x−2+4=22+4， 当且仅当2x−2=1x−2，即x=2+22时取等号， ∴函数fx的最小值为22+4, 故答案为22+4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.17.渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以153海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？ 【答案】该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里. 【解析】 【分析】 先求出AB=53，利用ΔABC为等腰三角形，可得BC=53，由直角三角形的性质可得结果. 【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CD⊥AD， 由题意得：AB=2060153=53 (海里) ∵∠A=30，∠CBD=60 ∴∠BCA=30， 则ΔABC为等腰三角形，所以BC=53. 在ΔBCD中， ∵∠CBD=60，CD⊥AD，BC=53 ∴CD=152 则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里. 【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及三角函数的应用，属于简单题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 18.18.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为12，中二等奖或三等奖的概率是512. （Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率； （Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是14，求任取一张，中三等奖的概率. 【答案】(1)112;(2)14. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A，B，C，D，利用互斥事件以及独立事件的概率公式求解即可；Ⅱ）由P(A+B)=14，结合PA+B=PA+PB，可得P(B)=14-112=16，利用PB+C=PB+PC=512，即可的结果. 【详解】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A，B，C，D，它们是互斥事件. 由条件可得P(D)=12，P(B+C)=P(B)+P(C)=512， （Ⅰ）由对立事件的概率公式知 PA=1-PB+C+D=1-PB+C-PD=1-512-12=112， 所以任取一张，中一等奖的概率为112； （Ⅱ）∵P(A+B)=14，而PA+B=PA+PB ∴P(B)=14-112=16， 又PB+C=PB+PC=512，∴P(C)=14 所以任取一张，中三等奖的概率为14. 【点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件的概率，属于简单题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 19.19.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3=7，a5+a7=26. （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=Snn(n∈N+)，求证：数列bn为等差数列 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列an中，a3=7，a5+a7=26列出关于首项a1、公差d的方程组，解方程组可得a1与d的值，从而可求得an及Sn；（2）利用（1）求出bn=Snn=n(n+2)n=n+2，则bn+1-bn=n+3-n+2=1，所以，数列bn为等差数列. 【详解】（Ⅰ）设等差数列的首项为a1，公差为d， 由题意有a1+2d=7.2a1+10d=26, 解得a1=3，d=2， 则an=a1+n-1d=3+2n-1=2n+1， Sn=na1+an2=n3+2n+12=nn+2 （Ⅱ）因为bn=Snn=n(n+2)n=n+2， 又bn+1-bn=n+3-n+2=1， 所以，数列bn为等差数列. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1,d,n,an,Sn,一般可“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解. 20.20.某中学从高三男生中随机抽取n名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示， 组号 分组 频数 频率 第1组 160,165 5 0.050 第2组 165,170 0.350 第3组 170,175 30 第4组 175,180 20 0.200 第5组 180,185 10 0.100 合计 n 1.00 （Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据，并完成下列频率分布直方图； （Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行不同项目的体能测试，若在这6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，则第4组中至少有一名学生被抽中的概率. 【答案】(1)见解析;(2)35. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据表格中数据，求出第1组第2组，第3组的频数，从而可得直方图的纵坐标，进而可得结果；（Ⅱ利用分层抽样，可得第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人，利用列举法可得从6位同学中抽两位同学的可能共有15种，其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有9种，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题可知，第1组：0.050=5n，得n=100 第2组的频数为0.350100=35人， 第3组的频数为30100=0.300. 即①处的数据为35，②处的数据为0.300. （Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生， 所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为： 第3组：30606=3人； 第4组：20606=2人； 第5组：10606=1人. 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人. 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C， 则从6位同学中抽两位同学的可能有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C共15种； 其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，B1C，B2C共9种可能. 所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=915=35. 【点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先(A1,B1)，(A1,B2)…. (A1,Bn)，再(A2,B1)，(A2,B2)…..(A2,Bn)依次(A3,B1) (A3,B2)….(A3,Bn)… 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 21.21.在锐角ΔABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且3a=2csinA （1）求角C的大小; （2）若c=7,且ΔABC的面积为332,求a+b的值. 【答案】(1) π3. (2)5. 【解析】 试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为3sinA=2sinCsinA即可得sinC=32，故C=600（2）∵S=12absinC=332，∴b=3再由余弦定理可得边c 试题解析： 解： （1）由正弦定理得3sinA=2sinCsinA， ∵A,C是锐角，∴sinC=32，故C=600. （2）∵S=12absinC=332，∴b=3 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-23=7 ∴c=7 点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长 视频 22.22.设函数fx=x2−3x （Ⅰ）若不等式fx≥m对任意x∈0,1恒成立，求实数m的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当m取最大值时，设x>0，y>0且2x+4y+m=0，求1x+1y的最小值. 【答案】(1)m≤−2;(2)3+22. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）结合二次函数对称轴位置，先判断(x)=x2-3x在x∈0,1上单调递减，所以f(x)min=f1=1-3=-2， 从而可得结果；（Ⅱ）结合（1）可得x+2y=1，由此可得1x+1y=(1x+1y)(x+2y)，展开后，利用基本不等式可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为函数f(x)=x2-3x的对称轴为x=32，且开口向上， 所以f(x)=x2-3x在x∈0,1上单调递减， 所以f(x)min=f1=1-3=-2， ∴m≤-2. （Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得m=-2， 即， 所以. 所以. ∵， 则 当且仅当，即，时，等号成立. 所以的最小值为. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.