2017-2018学年高中数学 全一册学案 湘教版选修2-2.doc

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2017-2018学年高中数学 全一册学案 湘教版选修2-2 4．1.1　问题探索——求自由落体的瞬时速度 [学习目标] 1．理解并掌握平均速度的概念． 2．通过实例的分析，经历平均速度过渡到瞬时速度的过程． [知识链接] 1．一物体的位移s与时间t满足函数关系s＝t2，则在时间段[1,2]内的平均速度＝________. 答案　＝＝3. 2．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋d)中，相应的平均速度等于________． 答案　＝＝6＋d. [预习导引] 1．伽利略通过实验得到的自由落体的下落距离s和时间t有近似的函数关系，其关系是s＝4.9t2. 2．瞬时速度 (1)在t0时刻的瞬时速度即指在时刻t0＋d，当d趋于0时，时间段[t0，t0＋d]内的平均速度． (2)若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)＝在d趋于0时的极限. 要点一　求平均速度 例1　已知一物体做自由落体运动，运动的方程为s＝gt2(位移单位：m，时间单位：s)，求： (1)物体在t0到t0＋d这段时间内的平均速度. (2)物体在t＝10 s到t＝10.1 s这段时间内的平均速度． 解　(1)s(t0＋d)－s(t0)＝g(t0＋d)2－gt ＝gt0d＋gd2， 在t0到 t0＋d这段时间内，物体平均速度为 v(t0，d)＝＝gt0＋gd. (2)由(1)知：t0＝10 s，d＝0.1 s， 平均速度为10g＋g0.1＝10.05g(m/s)． 规律方法　物体的运动方程是s(t)，则从t＝t1到t＝t2的平均速度是v(t，d)＝. 跟踪演练1　已知物体运动方程为s(t)＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)，求： (1)物体在运动前3 s内的平均速度； (2)物体在2 s到3 s内的平均速度． 解　(1)物体在前3 s内的位移为： s(3)－s(0)＝232＋23－0＝24(m)，故前3 s内的平均速度为＝＝8(m/s)． (2)物体在2 s到3 s内的位移为 s(3)－s(2)＝24－(222＋22)＝12(m)． 故物体在2 s到3 s这段时间内的平均速度为＝12(m/s)． 要点二　求瞬时速度 例2　已知一物体做自由落体运动，s＝gt2(位移单位：m，时间单位：s， g＝9.8 m/s2)． (1)计算t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段时间内平均速度； (2)求t＝3 s时的瞬时速度． 解　(1)当t在区间[3,3.1]时，d＝3.1－3＝0.1(s)， s(3.1)－s(3)＝g3.12－g32＝2.989(m)， 1＝＝＝29.89(m/s)． 同理，当t在区间[3,3.01]时，2＝29.449(m/s)， 当t在区间[3,3.001]时，3＝29.404 9(m/s)． (2)物体在[3,3＋d]上的平均速度是： ＝＝g(6＋d) 当d→0时，上式表达式值为3g，即物体在3 s时的瞬时速度为3g＝29.4(m/s)． 规律方法　平均速度即位移增量与时间增量之比 ，而瞬时速度为平均速度在d→0时的极限值，二者有本质区别． 跟踪演练2　枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0105 m/s2，枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.610－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解　运动方程为s＝at2. v(t，d)＝ ＝＝ad＋at. 当d趋于0时，ad＋at的极限为at. a＝5.0105 m/s2，t＝1.610－3 s， ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为51051.610－3 m/s， 即800 m/s. 1．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为 (　　) A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 答案　D 解析　v(1，d)＝＝－＝－2d－4. 2．已知物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．下列叙述正确的是(　　) A．在时间段[t0，t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度 B．在t1＝1.1，t2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000 1，这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等 C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等 D．以上三种说法都不正确 答案　C 解析　两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度． 3．已知s＝gt2，从3秒到3.1秒的平均速度＝________. 答案　3.05g 解析　＝＝3.05g. 4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________． 答案　8＋2d 解析　v(2，d)＝＝8＋2d. 1．平均速度与瞬时速度的区别与联系 平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”． 2．求瞬时速度的一般步骤 设物体运动方程为s＝f(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为： (1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为，其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量； (2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度. 一、基础达标 1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，其中时间的增量d(　　) A．d>0 B．d<0 C．d＝0 D．d≠0 答案　D 2．一物体运动的方程是s＝2t2，则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量为 (　　) A．8 B．8＋2d C．8d＋2d2 D．4d＋2d2 答案　C 解析　Δs＝2(2＋d)2－222＝8d＋2d2. 3．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为(　　) A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1 答案　D 解析　＝＝4.1. 4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为 s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　C 解析　＝＝＋Δt→(Δt→0)． 5．质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率为________． 答案　4＋2d 解析　＝＝4＋2d. 6．已知某个物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝－t2＋1. (1)t＝2到t＝2.1； (2)t＝2到t＝2.01； (3)t＝2到t＝2.001. 则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t＝2时的瞬时速度为________． 答案　－4.1 m/s　－4.01 m/s　－4.001 m/s －4 m/s 7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2 s内完成刹车，其位移 (单位：m)关于时间(单位：s)的函数为： s(t)＝－3t3＋t2＋20，求： (1)开始刹车后1 s内的平均速度； (2)刹车1 s到2 s之间的平均速度； (3)刹车1 s时的瞬时速度． 解　(1)刹车后1 s内平均速度 1＝＝ ＝－2(m/s)． (2)刹车后1 s到2 s内的平均速度为： 2＝ ＝ ＝－18(m/s)． (3)从t＝1 s到t＝(1＋d)s内平均速度为： 3＝ ＝ ＝＝－7－8d－3d2→－7(m/s)(d→0) 即t＝1 s时的瞬时速度为－7 m/s. 二、能力提升 8．质点M的运动方程为s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋Δt]内的平均速度为(　　) A．8＋2Δt B．4＋2Δt C．7＋2Δt D．－8＋2Δt 答案　A 解析　＝＝8＋2Δt. 9．自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度为________，在t＝1时刻的瞬时速度为________． 答案　g　g＋gΔt　g 解析　＝g. ＝g＋gΔt. 当Δt→0时，g＋gΔt→g. 10．自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________. 答案　9.8 解析　＝2g＋gΔt. 当Δt→0时，2g＋gΔt→2g. ∴2g＝19.6，g＝9.8. 11．求函数s＝2t2＋t在区间[2,2＋d]内的平均速度． 解　∵Δs＝2(2＋d)2＋(2＋d)－(222＋2)＝9d＋2d2， ∴平均速度为＝9＋2d. 12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问： (1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？ (2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs为s的增量)? 解　(1)由题图①在(0，t]时间段内，甲、乙跑过的路程s甲Δs甲，所以>即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快． 三、探究与创新 13．质量为10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能． 解　＝ ＝3Δt＋25， 当Δt→0时，3Δt＋25→25. 即4秒时刻的瞬时速度为25. ∴物质的动能为mv2＝10252＝3 125(J) 4．1.2　问题探索——求作抛物线的切线 [学习目标] 理解并掌握如何求抛物线的切线． [知识链接] 1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋d时，函数的改变量Δy为________． 答案　f(x0＋d)－f(x0) 2．函数y＝x2在x＝1处的切线斜率k＝________. 答案　＝＝2＋Δx→2(Δx→0)． [预习导引] 　求曲线上点P处切线斜率的方法 设P(u，f(u))是函数y＝f(x)的曲线上的任一点，则求点P处切线斜率的方法是： (1)在曲线上取不同于P的点Q(u＋d，f(u＋d))，计算直线PQ的斜率k(u，d)＝. (2)在所求得的PQ的斜率的表达式k(u，d)中，让d趋于0，如果k(u，d)趋于确定的数值k(u)，则k(u)就是曲线在P处的切线斜率. 要点一　有关曲线的割线斜率的探索 例1　点P(3,9)为抛物线y＝x2上的一点，A1(1,1)，A2(2,4)，A4(4,16)，A5(5,25)为抛物线上另外四点． (1)分别求割线PA1，PA2，PA4，PA5的斜率； (2)若A(x0，x)为曲线y＝x2上异于P的动点，当A逐渐向P趋近时，说明割线斜率的变化情况． 解　(1)kPA1＝＝4，kPA2＝＝5， kPA4＝＝7，kPA5＝＝＝8. (2)当A沿曲线趋近于P点时，x0的值趋近于3，不妨设x0＝3＋d(d≠0)，当x0→3时，d→0， 则kPA＝＝x0＋3＝(3＋d)＋3＝6＋d， 当d→0时，kPA→6，表明随A点无限趋近于P，割线PA的斜率无限趋近于6. 规律方法 割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过程，也是d趋于0的过程，这一过程实现了从割线到切线质的飞跃． 跟踪演练1　已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)为函数y＝x3曲线上两不同点． (1)当x1＝1，x2＝2时，求kAB； (2)求当x1＝x0，x2＝x0＋d时，A、B两点连线斜率kAB. 解　(1)kAB＝＝＝7. (2)kAB＝ ＝ ＝ ＝3x＋3x0d＋d2. 要点二　有关切线方程的探索 例2　已知曲线方程为y＝f(x)＝x3＋2x，求曲线在点P(1,3)处的切线方程． 解　f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1) ＝(1＋d)3＋2(1＋d)－(13＋21) ＝3d＋3d2＋d3＋2d ＝5d＋3d2＋d3. 则k(1，d)＝＝5＋3d＋d2， 当d→0时，k(1)＝5， 则切线方程为y－3＝5(x－1)即5x－y－2＝0. 规律方法 求曲线上点(x0，y0)处切线方程的步骤： (1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程． 跟踪演练2　求y＝f(x)＝x2－1在x＝1处的切线斜率及切线方程． 解　f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)2－1－(12－1)＝d2＋2d， ＝d＋2→2(d→0)， 即在x＝1处切线斜率为2. ∵f(1)＝0， ∴切线方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 要点三　求切点坐标 例3　在曲线y＝4x2上求一点P使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件： (1)平行于直线y＝x＋1； (2)垂直于直线2x－16y＋1＝0； (3)倾斜角为135. 解　设f(x)＝4x2且P点坐标为(u，f(u))．在曲线上取另一点Q(u＋d，f(u＋d))，计算直线PQ的斜率 k(u，d)＝ ＝＝8u＋4d. 在所求得的斜率表达式中让d趋于0，表达式趋于8u，所以P点处切线斜率为8u. (1)因为切线与直线y＝x＋1平行，所以8u＝1. ∴u＝，f(u)＝. 即P(，)． (2)因为切线与直线2x－16y＋1＝0垂直， 所以8u(－)＝－1， ∴8u＝－1. ∴u＝－1，f(u)＝4，即P(－1,4)． (3)因为切线倾斜角为135，所以8u＝tan 135＝－1， u＝－，f(u)＝， 即P(－，)． 规律方法　解答此类题目，切点横坐标是关键信息，因为切线斜率与之密切相关．同时应注意解析几何知识的应用，特别是直线平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识． 跟踪演练3　在抛物线y＝x2上求一点P，使点P到直线y＝4x－5的距离最小． 解　设P点坐标为(u，f(u))，在抛物线上另取一点Q(u＋d，f(u＋d))． 直线PQ的斜率 k(u，d)＝ ＝＝2u＋d， 在所求得的斜率表达式中让d趋于0，表达式趋于2u, 所求过P点处切线斜率为2u，当过P点的切线与直线y＝4x－5平行时，P点到直线y＝4x－5的距离最小， 所以2u＝4，u＝2. ∵P点在抛物线y＝x2上，∴f(u)＝4， ∴所求P点坐标为(2,4). 1．一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A处时(　　) A．运动方向指向圆心O B．运动方向所在直线与OA垂直 C．速度与在圆周其他点处相同 D．不确定 答案　B 2．若已知函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy)，则等于(　　) A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d 答案　C 解析　＝＝4＋2d. 3．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________． 答案　1 解析　由平均变化率的几何意义知，k＝＝1. 4．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋d，－2＋Δy)，则＝________. 解析　Δy＝f(－1＋d)－f(－1) ＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d2＋3d. ∴＝＝－d＋3. 答案　－d＋3 1．求曲线y＝f(x)上一点(x0，y0)处切线斜率的步骤 (1)作差求函数值增量Δy，即f(x0＋d)－f(x0)． (2)化简，用x0与d表示化简结果． (3)令d→0，求的极限即所求切线的斜率． 2．过某点的曲线的切线方程 要正确区分曲线“在点(u，v)处的切线方程”和“过点(u，v)的切线方程”．前者以点(u，v)为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点． 3．曲线的割线与切线的区别与联系 曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃． 一、基础达标 1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于(　　) A．2 B．4 C．6＋6d＋2d2 D．6 答案　B 2．已知曲线y＝x2－2上的一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为(　　) A．30 B．45 C．135 D．165 答案　B 3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为 (　　) A．(－1，－8) B．(1,13) C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1，－1) 答案　B 4．曲线y＝在点P(3,1)处的切线斜率为(　　) A．－ B．0 C. D．1 答案　C 解析　 ＝＝. 当Δx→0时，→. 5．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为________． 答案　(1,2) 6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　＝Δx＋2， 当Δx→0时，Δx＋2→2. 所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)． 即为2x－y＋1＝0. 7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程． 解　设点P(x0，y0)， ＝＝d＋2x0， d→0时，d＋2x0→2x0. 抛物线在点P处的切线的斜率为2x0， 由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1， 即P点坐标为(1,1)， 切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0. 二、能力提升 8．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析　＝＝， 当Δx→0时，→1. 曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2. 9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________． 答案　7 解析　 ＝＝Δx＋7， 当Δx→0时，Δx＋7→7， 所以，f(x)在A处的切线的斜率为7. 10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为________． 答案　(2,10) 解析　设A点坐标为(x0，x＋3x0)， 则 ＝ ＝Δx＋(2x0＋3)， 当Δx→0时，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3， ∴2x0＋3＝7，∴x0＝2. x＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)． 11．已知抛物线y＝x2＋1，求过点P(0,0)的曲线的切线方程． 解　设抛物线过点P的切线的切点为Q(x0，x＋1)． 则＝Δx＋2x0. Δx→0时，Δx＋2x0→2x0. ∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1. 即切点为(1,2)或(－1,2)． 所以，过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0. 三、探究与创新 12．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点的坐标及a的值． 解　设切点A(x0，y0)， ＝ ＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)． 故曲线上点A处切线斜率为3x－2x0，∴3x－2x0＝1， ∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得 或代入直线l， 当时，a＝0(舍去)，当时，a＝， 即切点坐标为(－，)，a＝. 4．1.3　导数的概念和几何意义 [学习目标] 1．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点上的导数的方法． 2．理解导数的几何意义． [知识链接] 　曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线与导数的关系． 答　函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但它不可导．即若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．若f′(x0)存在，且f′(x0)>0，则切线与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)<0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行． [预习导引] 1．函数在自变量的某个区间上的平均变化率 函数f(x)在x＝u处步长为d的差分为f(u＋d)－f(u)，差商为，它表示函数在自变量的某个区间上的平均变化率，它反映了自变量在某个范围内变化时，函数值变化的总体的快慢． 2．导数的概念 设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值在d趋于0时(d≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)，上述定义可简述为→f′(x0)(d→0)． 当x0是f(x)的定义区间中的任意一点，所以也可以就是x，而f′(x)也是x的函数，叫作f(x)的导函数或一阶导数． 有时也可记作f′(x)＝ . 3．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率. 要点一　导数的概念 例1　设函数f(x)(x∈R)可导，则当d趋于0时，趋于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3) 答案　C 解析　原式＝，当d趋于0时，趋于f′(1)． 故原式趋于f′(1)，故选C. 规律方法　在利用导数定义求函数在某点处导数值时，往往采用凑项的方法凑成定义的形式再解决． 跟踪演练1　已知f(x)在x∈R时处处可导，若f′(1)＝1，则d→0时，的值为(　　) A. B．2 C．f′(2) D．f′() 答案　B 要点二　求函数某一点处的导数 例2　已知f(x)＝，求f′(1)． 解　＝＝＝， 由于d→0时，→－1，故f′(1)＝－1. 规律方法　差分式化成分子和分母极限都在的情形(但分母极限不能为0)，如果分母极限为0，则从分母中分离出导致分母趋于0的因式，与分子约分消去，便可得出正确结论． 跟踪演练2　已知f(x)＝(x>0)，求f′(1)． 解　＝＝，＝， 当d→0时，→，故f′(1)＝. 要点三　求函数的导函数 例3　求函数f(x)＝的导函数f′(x)，并求f′(2)． 解　＝＝－＝. 当d→0时，－趋于－＝－. 即f′(x)＝－.∴f′(2)＝－1. 规律方法　求某一点x0处的导数值f′(x0)，可先求出导函数f′(x)，再赋值求解f′(x0)． 跟踪演练3　求函数f(x)＝x＋的导函数f′(x)及f′(1)． 解　 ＝ ＝＝1－， 当d→0时，1－→1－， ∴f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－＝0. 要点四　利用导数求切线方程 例4　已知曲线C：y＝x2， (1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程， (2)求过点(1,0)且与曲线C相切的直线的方程． 解　(1)＝＝2x＋d. 当d→0时，2x＋d→2x， ∴f′(x)＝2x，f′(1)＝2， ∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)点(1,0)不在曲线y＝x2上． 设过点(1,0)与曲线C相切的直线其切点为(x0，x)， 则切点处的斜率为2x0.切线方程为y－x＝2x0(x－x0) (*) 又因为此切线过点(1,0)． ∴－x＝2x0(1－x0)，解得x0＝0或x0＝2， 代入(*)式得过点(1,0)与曲线 C：y＝x2相切的直线方程为y＝0或4x－y－4＝0. 规律方法　本题主要考查了导数的几何意义以及直线方程的知识，若求某点处的切线方程，此点即为切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，不论点是否在曲线上，均需设出切点． 跟踪演练4　求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线的方程． 解　由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝上， 所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝在点(－2，－1)处的导数． 而f′(－2)＝ ＝ ＝＝－， 故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)， 整理得x＋2y＋4＝0. 1．f(x)在x＝x0处可导，则 (　　) A．与x0、h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0、h均无关 答案　B 2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列选项正确的是(　　) A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0 C．f′(x0)＝2x0 D．f′(x0)＝d＋2x0 答案　C 3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)f′(xB) B．f′(xA)kA，即f′(xB)>f′(xA)． 3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 解析　在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x，∴f′(2)＝8. 答案　C 4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1) C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1 答案　A 解析　分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1. 5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________． 答案　3　3x－y＋1＝0 解析　Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝li ＝ (3＋d)＝3. ∴切线的方程为y－4＝3(x－1)， 即3x－y＋1＝0. 6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为____________． 答案　4x－y－5＝0 解析　∵f′(x)＝＝ ＝＝ (2x＋d)＝2x. 设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0. 7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解　∵f′(3)＝ ＝ ＝ (d2＋9d＋27)＝27， ∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)， 即27x－y－54＝0. 此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)． ∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝254＝54. 二、能力提升 8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 答案　A 解析　 ＝－Δx2＋3. Δx→0时，－Δx2＋3→3. ∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1. 9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________. 答案　3 解析　由已知切点在切线上． ∴f(1)＝1＋2＝. 切线的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3. 10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________. 答案　1　1 解析　∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上， ∴－b＋1＝0，b＝1. 又＝＝a＋Δx， ∴f′(0)＝a＝1. 11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程． 解　设切点为A(x0，y0)，则y0＝x＋1. ＝＝ Δx2＋3x0Δx＋3x. ∴f′(x0)＝3x，切线的斜率为k＝3x. 点(1,2)在切线上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－. 当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0， 当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0. 所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0. 12．求抛物线y＝x2的过点P(，6)的切线方程． 解　由已知得，＝2x＋d， ∴当d→0时，2x＋d→2x， 即y′＝2x， 设此切线过抛物线上的点(x0，x)， 又因为此切线过点(，6)和点(x0，x)， 其斜率应满足＝2x0， 由此x0应满足x－5x0＋6＝0. 解得x0＝2或3. 即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)． 所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0， 此即是所求的切线方程． 三、探究与创新 13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程． 解　设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率 k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即 P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0. 4．2　导数的运算 4．2.1　几个幂函数的导数 4．2.2　一些初等函数的导数表 [学习目标] 1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． [知识链接] 　在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？ 答　(1)计算，并化简； (2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值； (3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数． [预习导引] 　常见基本初等函数的导数公式： (1)(c)′＝0(c为常数函数)； (2)(xα)′＝αxα－1(α≠0)； (3)(ex)′＝ex； (4)(ax)′＝ax(ln_a)(a>0，a≠1)； (5)(ln x)′＝(x>0)； (6)(logax)′＝(a>0，a≠1，x>0)； (7)(sin x)′＝cos_x； (8)(cos x)′＝－sin x； (9)(tan x)′＝； (10)(cot x)′＝－. 要点一 幂函数的导数 例1　求下列函数的导数： (1)y＝x2 011；(2)y＝；(3)y＝. 解　(1)y′＝(x2 011)′＝2 011x2 011－1＝2 011x2 010. (2)y′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4＝－. (3)y′＝＝. 规律方法　对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－4，y＝＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪演练1　求曲线y＝在点P(27，)处的切线斜率． 解　∵y＝＝，∴， ∴y′|x＝27＝－＝－＝－， 故所求切线的斜率k＝－. 要点二　利用导数公式求函数的导数 例2　求下列函数的导数 (1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x. 解　(1)y′＝0； (2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4； (4)y′＝′＝＝； (5)y′＝(log3x)′＝. 规律方法　求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪演练2　求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4) . 解　(1)y′＝8x7； (2)y′＝xln ＝－xln 2； (3)∵y＝x＝，∴y′＝； (4) y′＝＝－. 要点三　利用导数公式求曲线的切线方程 例3　(1)求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程． 解　∵y＝sin x，∴y′＝cos x， 曲线在点P处的切线斜率是： ＝cos＝. ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－， 故所求的直线方程为y－＝－， 即2x＋y－－＝0. 规律方法　导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键． 跟踪演练3　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解　∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则 y′|x＝x0＝2x0， 又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ， ∴k＝2x0＝1，即x0＝， 所以切点为M. ∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝(　　) A．0 B．2x C．6 D．9 答案　C 解析　∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6. 2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　) A. B．0 C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝. 3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 答案　A 解析　∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1， ∴αl∈∪. 4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案　e2 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1. ∴S△＝1＝e2. 1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x， 所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化． 一、基础达标 1．下列结论中正确的个数为(　　) ①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则y′＝. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　) A. B.或 C. D. 答案　B 解析　y′＝′＝－＝－4，x＝，故选B. 3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　A 解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4. 4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝，即在点和点处有斜率为1的切线． 5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________． 答案　x＋y－6＝0 解析　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0. 6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________. 答案　64 解析　 ∴曲线在点处的切线斜率， ∴切线方程为． 令x＝0得；令y＝0得x＝3a. ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝3a＝18，∴a＝64. 7．求下列函数的导数： (1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ； (4)y＝log2x2－log2x. 解　(1)y′＝′＝＝. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. (3)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝. 二、能力提升 8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　) A. B．－ C．－e D．e 答案　D 解析　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 ∴ex0＝ex0x0，∴x0＝1，∴k＝e. 9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______. 答案　1 解析　y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1. 10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________． 答案　 解析　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为. 11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值． 解　∵f(x)＝cos x，g(x)＝x， ∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z. 12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解　根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以x0＝，所以切点坐标为， 切点到直线x－y－2＝0的距离 d＝＝， 所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为. 三、探究与创新 13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)． 解　f1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x. 4．2.3　导数的运算法则 [学习目标] 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四则运算求简单函数的导数． 3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则． 4．能求简单的复合函数的导数．(仅限于形如f(ax＋b)的导数)． [知识链接] 　前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答　利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数的运算法则 (1)(cf(x))′＝cf′(x)； (2)(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)； (3)(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)； (4)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (5)()′＝－(f(x)≠0)； (6)()′＝(f(x)≠0)． 2．一般地，若y＝f(u)，u＝g(x)，则y′x＝fu′ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的积. 要点一　利用导数的运算法则求函数的导数 例1　求下列函数的导数： (1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x. 解　(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，利用函数差的求导法则可得 (3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－. 规律方法　本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1　求下列函数的导数： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝exln x；(4)y＝lg x－. 解　(1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝＋exln x； (4)y′＝＋. 要点二　求复合函数的导数 例2　求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝sin4＋cos4； 解　(1)y＝ln u，u＝x＋2 ∴y′x＝y′uu′x＝(ln u)′(x＋2)′＝1＝. (2)∵y＝sin4＋cos4 ＝2－2sin2cos2 ＝1－sin2＝1－＝＋cos x， ∴y′＝－sin x. 规律方法　应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构． (2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体． (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2　求下列函数的导数：(1)y＝e2x＋1； (2)y＝(－2)2. 解　(1)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′uu′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)法一　∵y＝(－2)2＝x－4＋4， ∴y′＝x′－(4)′＋4′ ＝1－4＝1－. 法二　令u＝－2， 则y′x＝y′uu′x＝2(－2)(－2)′＝ 2(－2)＝1－. 要点三　导数的应用 例3　求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程． 解　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x－2 故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x－2x0) ＝(3x－2)(1－x0)． 解得x0＝1或x0＝－. 故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)． 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 规律方法　(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3　已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度． 解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2， ∴s′(t)＝－＋2＋4t， ∴s′(3)＝－＋＋12＝， 即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s. 1．下列结论不正确的是(　　) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 答案　D 解析　利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．函数y＝的导数是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　y′＝′＝ ＝. 3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案　A 解析　∵y′＝＝， ∴k＝y′|x＝－1＝＝2， ∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________. 答案　ln 2－1 解析　设切点为(x0，y0)， ∵ y′＝，∴＝， ∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝2＋b，∴b＝ln 2－1. 求函数的导数要准确