2019-2020年高考数学40个考点总动员 考点27 立体几何中的向量方法（理）（学生版） 新课标.doc

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2019-2020年高考数学40个考点总动员 考点27 立体几何中的向量方法（理）（学生版） 新课标 【高考再现】 热点一 求角问题 1.(xx年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） （D） 2.(xx年高考四川卷理科14)如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。 3.(xx年高考全国卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________. 4.(xx年高考湖北卷理科19)（本小题满分12分） 如图1，∠ACB=45，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90（如图2所示）， （1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大； （2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小 5.(xx年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求： （1）三角形的面积； （2）异面直线与所成的角的大小. 6.(xx年高考浙江卷理科20) (本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点． (Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD； (Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 7.(xx年高考山东卷理科18)（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60，FC⊥平面ABCD， 8.(xx年高考辽宁卷理科18) (本小题满分12分) 如图，直三棱柱，， 点M，N分别为和的中点. (Ⅰ)证明：∥平面; (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值. 9(xx年高考江西卷理科19)（本题满分12分） 在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。 （1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长； （2）求平面与平面BB1C1C夹角的余弦值。 10.(xx年高考新课标全国卷理科19)（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，， 是棱的中点， （1）证明： （2）求二面角的大小。 【方法总结】 1．利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同．同时注意根据异面直线所成的角的范围(0，]得出结论． 2．利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 3．利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 4．利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角． 热点二 求距离问题 11.(xx年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为（ ） A．2 B． C． D．1 12.(xx年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的 求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______. 13.(xx年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面， 丄，丄，，，. (Ⅰ)证明：丄； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为， 求的长. 14.(xx年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分） 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 （Ⅰ）求点C到平面 的距离; （Ⅱ）若,求二面角 的平面角的余弦值。 【方法总结】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH⊥平面CMN于H.由＝＋及n＝n，得|n|＝|n|＝|||n|，所以||＝，即d＝. 热点三 折叠问题 15.(xx年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分） 平面图形如图4所示，其中是矩形，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。 。 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的长； （Ⅲ）求二面角的余弦值。 【考点剖析】 一．明确要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题． 4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 二．命题方向 利用向量法求空间角的大小是命题的热点．着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力．题型多为解答题，难度中档. 三．规律总结 一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 两个理解 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a＝λb⇒a∥b； ②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R使λa＝μb. ③若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”． 四种运算 空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习． 三种成角 (1)异面直线所成的角的范围是； (2)直线与平面所成角的范围是； (3)二面角的范围是[0，π]． 易误警示 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 【基础练习】 2．(人教A版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)． A．45 B．135 C．45或135 D．90 4.(经典习题)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)． A．5 B．6 C．4 D．8 【名校模拟】 一．基础扎实 1.(浙江省xx届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a，其余四根均为a，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为________． 2.(北京市东城区xx第二学期高三综合练习（二）理)（本小题共13分） 如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥,， 且，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 3.(中原六校联谊xx年高三第一次联考理)（本小题满分12分） 如右图所示，四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60的菱形，M为PB的中点． （1）求PA与底面ABCD所成角的大小； （2）求证：PA⊥平面CDM； （3）求二面角D—MC—B的余弦值． 二．能力拔高 6.(河北省唐山市xx高三年级第二次模拟考试理)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中点． （I）求证：平面EAC⊥平面PBC; （II）若二面角P-A C-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 8.(xx年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理) (本小题满分12分) 9. (山西省xx年高考考前适应性训练文)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，M，N分别是PB，AC的中点。 （1） 求证：MN//平面PAD； （2） 求点B到平面AMN的距离． 10. (山西省xx年高考考前适应性训练理)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，M，N分别是线段PB，AC上的动点，且不与端点重合，． （1）求证：平面PAD； （2）当MN的长最小时，求二面角的余弦值． 三．提升自我 12.【xx学年浙江省第二次五校联考理】三棱锥中，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是 ． 13. (浙江省xx届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题理)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，∠ABE＝20，∠CDF＝30．将△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为_________． 15．(河北唐山市xx届高三第三次模拟理)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2。 （1）求证：平面PBC⊥平面PAB； （2）若二面角B－PC－D的余弦值为，求 四棱锥P—ABCD的体积。 【原创预测】