2018年电大专科微积分初步复习小抄

《2018年电大专科微积分初步复习小抄》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年电大专科微积分初步复习小抄（5页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

电大小抄微积分初步一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）⒈函数 的定义域是xf51)(． ,⒉ 1 ．xsinlm⒊已知 ，则 =xf2)()(f．⒋若 ，则cFd．f)3()(1⒌微分方程的阶数yxyxesin4是　3　．⒈函数 的定义域是)2l(f,1),(⒉ 2 ．xsilm0⒋ ．de2⒌微分方程 的特解)0(,y为 .x⒈函数 ，则f1(2． )⒊曲线 在点 处的y),(切线方程是 ．x⒋若 ，则cf2sind)(． 4⒌微分方程的阶数xyyo)(7)5(3为 5 ．⒈函数 的定义域是241xf．),(⒋若 ．sdinCcos6. 函数 ，2xf则 x2 -2 ．)(7 . 若函数 ,0,13sikf在 处连续，则 　1 0．8. 曲线 在点 处的切xy),(线斜率是 ．29. ．d)cos(in1310. 微分方程的阶数为 xyyi4)653）（5 ．6. 函数 ，则2)1(fx2 + 1 ．9. sinx + c．sdin⒈函数 的定义域 )l(f是 ．),3(2⒉函数 的间断 1xy点是 ．⒊曲线 在 点)(f),0(的斜率是 ．2⒋若 ，则cxfosd= ．)(4⒌微分方程 的阶 0)(3y数是　2　．⒈函数 ，则xf21．)(x⒉函数 在0,sinkf处连续，则 =2．0⒋ 　4　．xd)53(1⒌微分方程 sin(3y的阶数是　2　． 3．函数 2)lxf的定义域是 ],1(,4．函数 ， 7(2f则 )65．函数 ，则 0exf2 ．)0(6. 函数 ，则f12x7．函数 的间断点 3y是9．若 ，则 　2 sin4lm0kx10．若 ，则31．曲线 在 1)(f),(点的斜率是 2fk2．曲线 在 点的xe,0切线方程是 y3．曲线 在点 处的21),(切线方程是 即：x0yx4． )(xx2ln15．若 y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则 (0) = －6 6．已知 ，则f3)(ln277．已知 ，则xfln)(218．若 ，则xfe)0(9．函数 的单调增y32)加区间是 ,1[10．函数 在区间(axf内单调增加，则 a 应满),足 01．若 的一个原函数为 ，(f2ln则 )x2lc2．若 的一个原函数为，则e)(fx3．若 ，cxed则 )(f14．若 ，2sin则 =xco5．若 ，cxfld)(则 16．若 ，f2os)(则 x4cx7． de28． )(sini9．若 ，则Ff(x312c10．若 ，则f)d(21. 3)cosin1xx2． 2 d4(53．已知曲线 在任意)(fy点 处切线的斜率为 ，xx且曲线过 ，则该曲线5,的方程是 312y4．若 4 ． dx)(135．由定积分的几何意义知， a026． 　0 e1)ln(dx7． = x028．微分方程 1)(,y的特解为 xe9．微分方程 的通 03解为 xcey310．微分方程sin4)(7)(的阶数为 4 阶 ．二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）⒈设函数 ，则该函2exy数是（B　）．A． 奇函数　 B．偶函数　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数⒈设函数 ，则该函2exy数是（A　　）．A．奇函数 B．偶函数　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数⒊下列结论中（ C ）正确． A． 在 处连续，)(xf0则一定在 处可微.B．函数的极值点一定发生在其驻点上. C． 在 处不连续，)(xf0则一定在 处不可导. D．函数的极值点一定发生在不 可导点上.⒋如果等式 ，cxf1ed)(则 （ D ）A. B. 12C. D. x⒊下列函数在指定区间 (,)上单调减少的是（D ）． A． B． sinxeC． D．23⒈设函数 ，则该函yi数 是（B　）．A．奇函数 　B．偶函数　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数⒊下列函数在指定区间 上单调减少的是(,)（B）． A． B． C． D． xcos52x2⒋ 设 ，则 cflnd)(（ C ）．A. B. xlC. D. 22l⒌下列微分方程中，（A ）是 线性微分方程． A． xyxylnesiB． 2C． 电大小抄D． yxln2⒊满足方程 的点一 定是0)(f函数 的（ C ）。A．极值点　　B．最值点 C．驻点　 D． 间断点⒌微分方程 的通解 1y是（B　）A. ； B. ； exexC. ； D.2⒈函数 的 f5)ln(定义域是（　D ）． A．（2，+∞）　 B．（2，5〕C．（2，3）∪（3，5） D．（2，3）∪（3，5〕⒊下列函数在指定区间（-∞，+ ∞）上单调减少的是（ B ）．A． B． C． D．xsin2xe⒈函数 的定义域 )l(f是（　C ）． A．（-2，+∞） B．（-1，+∞）　　C．（-2，-1）∪（-1，+∞） D．（-1，0）∪（0，+∞）⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（　C ） A. ； B. yxd)(xyC. ； D. sin2、若函数 ，则f2i)(（A ） .lim0xA． B．0 C．1 　D．不存在⒋下列无穷积分收敛的是（B　）．A． 　B．0dinxs02exC． 　　D．11⒌微分方程 的通解是y（D）A. B. cx2cx2C. D.ee⒈函数 的定义域312y（D）．A． B． 　　xxC． 且 0D． 且⒉若函数 ，则f1sin)(（C ） .limxA．0 B． C． 1 D．不存2在⒊函数 在区间74y是（C ）　)5,(A．单调增加 B．单调减少 C．先减后增 D．先增后减⒋下列无穷积分收敛的是（A　）．A． 　 B． 12dx13dxC． D．⒌下列微分方程中为一阶线性微 分方程的是（B　）A. B. yxexsinC. i2．设函数 ，则该函 2数是（ A　）．A．奇函数 　 B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数3．函数 的图形 2)(xf是关于（ D　）对称．A． 　B． 轴　　yC． 轴 D．坐标原点4．下列函数中为奇函数是(C)A． B． xsinxlnC． D．)1l225．函数 的5l(4xy定义域为（ D ）．A． B． C． 且 0D． 且5x6．函数 的定义域)1ln(f（D）．A． B．,)(C． D．20,7．设 ，则1)(xf（ C ） A． 　 B． C．2D． )2()(8．下列各函数对中，（D）中的两个函数相等．A． ， 2)(xfxg(B． ， C． ， lnlnD． ，3)(f)(9．当 时，下列变量中为0x无穷小量的是（ C ） A． 　　B． C．1xsinD．)ln(210．当 （B）时，函数k，在 处连0,12xf续.A．0 　B．1 C． D．11．当 （D）时，函数k在0,2)(xef处连续.A．0 　　B．1 C．2　 D．3 12．函数 的间3)(xf断点是（ A ）A． B． 2,1xC． D．无间断点1．函数 在区间2)(y是（ D ）　,A．单调增加　　B．单调减少C．先增后减　 D．先减后增2．满足方程 的点一0)(xf定是函数 的（ C y）.A．极值点　 　B．最值点 C．驻点　 D． 间断点3．若 ，则xfcose)(=（　C ）． 0A. 2　 B. 1 C. -1 D. -24．设 ，则 （　ylgdyB ）． A． B． xxln0C． D．ln105．设 是可微函数，)(fy则 （ D ）． 2cosdxA． B． fdin)(C． D． xsc6．曲线 在 处1e2xy切线的斜率是（ C ）． A． B． 4C． D．7．若 ，则xfcos)(（ C ）． A． xsincoB． C． 2D． i8．若 ，其中 3s)(axf是常数，则 （ a)(fC ）． A． B．2coC． x6sinxsinD．9．下列结论中（ B ）不正确． A． 在 处连续，)(xf0则 一定在 处可微. B． 在 处不连续，则一定在 处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D．若 在[a，b]内恒有)(xf，则在[a，b]内函数是0单调下降的.10．若函数 f (x)在点 x0 处可导，则( B )是错误的． A．函数 f (x)在点 x0 处有定义 B． ，但lim0fC．函数 f (x)在点 x0 处连续 D．函数 f (x)在点 x0 处可微 11．下列函数在指定区间上单调增加的是（ ,B ）． A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x12.下列结论正确的有（A ）． A．x 0 是 f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有 (x0) f= 0 B．x 0 是 f (x)的极值点，则 x0 必是 f (x) 的驻点C．若 (x0) = 0，则 x0 必是 f (x)的极值点 D．使 不存在的点 x0，f一 定是 f (x)的极值点1．下列等式成立的是（ A　）．A． 　 )(dffB． )(xC． 　 )(ff电大小抄D． )(dxf2．若 ，cf2e则 （ A ）.)(A. B. C. 1exxD. 223．若 ，则)0()(f（ A ）.dA. B. cxcx2C. 32D. 14．以下计算正确的是（ A ）A． B．3lndx)1(2C． D．x)d(l5． （ A ）fA. cfB. x)(C. 21D. cf6． =（ C ）． xadA． B．C．ln2D． c27．如果等式，则xf11ed)(（ B ）A. B. 2C. D. x11．在切线斜率为 2x 的积分曲线 族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ）．A．y = x2 + 3 B．y = x 2 + 4 C． D．12．若 = 2，则 k = （ 0d)(A ）． A．1 B．-1 C．0 D． 13．下列定积分中积分值为 0 的是（ A ）． A． B．xd2e1C．x1D．)cos(3xdin24．设 是连续的奇函数，则)(f定积分 （ D ）　a-A． 　　B．02xfC． 　 -d)(aaf0d)(D． 05． （ D ）．xsin2-A．0 B． C． D．26．下列无穷积分收敛的是（B ）．A． 　　B．0dex0dexC． 　 D． 117．下列无穷积分收敛的是（B ）．A． B．0dinxs02dexC． 　D．118．下列微分方程中，（D）是线 性微分方程． A． yyxln2B． xeC． D． lsi9．微分方程 的通解为（ 0yC ）． A． B．xC． D． 0y10．下列微分方程中为可分离变 量方程的是（B ）A. ；B. ； xdyxC. D. ysin)(D. ta三、计算题（本题共 44 分，每小题 11 分）⒉设 ，求 .xy2eyd解： 213exyd)(d⒊计算不定积分 xsin解： = iCcos2ds2⒋计算定积分 xe10解： x2d2e10⒈计算极限 ．95lim3x解： 24)(li3x⒉设 ，求 .xycoslnyd解： ta2)i(121dxytan3⒊计算不定积分 )(9解： =21(9cxx10)-⒈计算极限 ．63lim2解： 2x51li)(1li2x⒉设 ，求 .ycosyd解： lnixx)2l(d⒉设 ，求 .y3cos5iny解：)i(2xx2ss⒊计算不定积分 d1解： = x)(2C3)(⒋计算定积分 0dsin解： 2x2si1cos10011. 计算极限 9152lim3x解： 2x 4li)(li33x2. 设 ，求ycosyd解： ，2， x3in1ddy)s(12. 设 ，求xily解： xy1cos)(1cos2= dx13. 计算不定积分 s2解： =xd1cos2cin)(14. 计算定积分 e1l解： = exd1l)(42n212e⒈ 计算极限 ．3limx解 2li)(li112xx⒉ 设 ，求 .cosn3y解: i2xta13．计算不定积分 de5解 cxxx2)(de5⒈ 计算极限 ．86lim1解 l2x 32)(4li)(i2x⒉ 设 ，求 . y3n5cosy解 xx223lsi)(li)(l⒌ 计算定积分 0d电大小抄解 20dcosx12sini0⒈计算极限 ． 43lm2x解： i21li)(1l2xx2．计算极限 65解： li21x271lim)(x3． 39li2x解： 2461li)(li33xx4．计算极限 5824解： limx31li)(144x5．计算极限 ． 6582x解： li23li)(2xx6．计算极限 ． 1m0解： xli )(li)(100xx2li0x7．计算极限 x4sin1m解： xli0)1(six84inl)nl00x8．计算极限 ． 2mx解： sil0)4(nixx162[li)2sil00 smxx⒈设 ，求 ． xy12ey解： xxe121)(e)(2．设 ，求 . y3cos4iny解： xxi23．设 ，求 . y1ey解： 2x4．设 ，求cosln. y解： xxta23csi35．设 是由方程)(y确定的隐函数，42求 .d解：两边微分：0)(xdyyx2d26．设 是由方程)(xy确定的隐函数，1求 . 解：两边对求导，得：2xy0)(，，)(1ydxd7．设 是由方程)(确定的隐函4e2yx数，求 .解：两边微分，得： 0xddyyxeex)2(， y8．设 ，1)cos(求 ．yd解：两边对求导，e)(yx得： 0siny0)sin()si(yexy][yi dxyedy)sn(1． xi3解： dxdsincxo32ln2． )1(0解： dcx100)2(c1)(23． xdsin解：i2cx1os)(sin4． xd解： 2i)cos(1cosxxin45． ed解： xcex)(1． xxde22ln0解： )(l3198)2ln02ln0xx2． dl5e1解： xee x11 )ln5(ln)(2605223． xed10解： 1)(1010exx4． d2sinx解： 002cos)(idxx002cos42sin)(40d5． 2six解: 0 )cos(os202xd1in0x6．求微分方程满足初始条件2y的特解．47)(解：通解为 ])([()( cdxeqeypdxp， ， ，1(12代入 )4cxy， 代入得 。即：7(特解为 )124x7．求微分方程 xysin的通解。解：通解为 ])([()( cdxeqypdxp， ，1，代入得通2sin)(解为 )coxy四、应用题（本题 16 分）1、用钢板焊接一个容积为 4的底为正方形的无盖水3m箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设边长 ，高 ，表面积xh，且S24,162x电大小抄令 ，216)(xS 0)(S得 ， 所以，当 时水箱的,h面积最小. 最低总费（元）1604)(3、欲做一个底为正方形，容积为108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为 ，x高为 ，用材料为 ，hy由已知 22108,xxy434令 ，解得32x是唯一驻点， 6所以 是函数的极小值点，即当 ， 时用料最3108h省. 5. 欲做一个底为正方形，容积为32 立方米的长方体开口容器，怎样做 法用料最省？解：设底边的边长为 ，高为 h，x用材料为 y，由已 32得 ，则23hx1842令 ，解得 x = 4018y是唯一驻点，易知 x = 4 是函数的极小值点，此时有 = 23h2，所以当 x = 4， h = 2 时用料最省。6、欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为 ，高为 ，xh容器的表面积为 ，y由已知 ， ，5.62h2.xxy04，令 ，得20y是唯一驻点5即有 ，所以当.62h， 时用料最省．x1.设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设长为 厘米，另一边长为x厘米，60得： ，即：)(2V326xV，10dx令 ，得： （不合题意，舍去），，4206x即：当矩形的边长为 ㎝、4㎝时，圆柱体的体积最大。2.欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设长为 米，宽为 米，x216得 ，即L32648，令 ，2xd0dL（取正值）， 12即：当矩形的长为 米，宽为8米时，所用建筑材料最省。五、证明题（本题 5 分）1、函数 在（xef)(是单调增加的．0,证明：因为 ，当1（ 时，x)所以函数xef(在（ 是)0,单调增加的．1、证明等式 aa xfxf0)]([)(dd证明： aaafff0考虑积分 ，令0)(x，则 ，从而txdtaaa xfffd000 )(][)(所以 aafxff0)(d00 )]([)(