西安电子科技大学数学建模讲义第三讲.ppt
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数学建模讲义,主讲人:穆学文,西安电子科技大学数学系Email:mxw1334@,第三讲微分方程模型,,,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,主要内容,生物单种群增长模型3.1人口增长模型3.2传染病模型生物多种群增长模型3.3正规战与游击战3.4捕食系统的Volterra方程,,,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,美丽的大自然,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。,离散化为连续，方便研究,3.1如何预报人口的增长--Malthus模型与Logistic模型,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,指数增长模型——马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,x(t):时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率r是常数,不考虑移民,今年人口x0,年增长率r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r~固有增长率(x很小时),xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,,,,x(t)~S形曲线,x增加先快后慢,,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位~百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),继续,最小二乘法,设经实际测量已得到n组数据（xi,yi），i=1,…,n。将数据画在平面直角坐标系中，见图。如果建模者判断这n个点很象是分布在某条直线附近，令该直线方程为y=ax+b，进而利用数据来求参数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望,,最小,,此式对a和b的偏导数均为0，解相应方程组，求得：,,,,用MATLAB作线性最小二乘拟合,1.作多项式f(x)=a1xm+…+amx+am+1拟合,可利用已有程序:,a=polyfit(x,y,m),1.lsqcurvefit已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）,用MATLAB作非线性最小二乘拟合,Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参考例题.,lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T中的参变量x(向量),使得,,输入格式为:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);,说明：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);,lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T中的参量x，使得最小。其中fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai,2.lsqnonlin,已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）,输入格式为：1）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；2）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；3）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options，‘grad’）；4）[x，options]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；5）[x，options，funval]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；,说明：x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；,,例用下面一组数据拟合中的参数a，b，k,该问题即解最优化问题：,1）编写M-文件curvefun1.mfunctionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;,2）输入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit(curvefun1,x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata),F(x，tdata)=，x=(a，b，k),解法1.用命令lsqcurvefit,3）运算结果为：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.2542,4）结论：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542,返回,模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),,模型应用——预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合，见图3.6。,图3-6,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发展方程,人口发展方程,,,一阶偏微分方程,,,例2:传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,,,,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,,~日接触率,SI模型,模型2,tm~传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt最大,模型3,传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS模型,3）病人每天治愈的比例为,~日治愈率,建模,~日接触率,1/~感染期,~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,,接触数=1~阈值,如果感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,患者就会全部治愈。,模型4,传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立的两个方程,模型4,SIR模型,,模型4,SIR模型,相轨线的定义域,在D内作相轨线的图形，进行分析,SIR模型,相轨线及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1:s0>1/i(t)先升后降至0,P2:s0<1/i(t)单调降至0,1/~阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率)卫生水平,(日治愈率)医疗水平,传染病不蔓延的条件——s00，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。,图3-17,定义1自治系统的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标的空间Rn。,特别，当n=2时，称相空间为相平面。,空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。,定义2设x0是（3.28）的平衡点，称：,（1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|xo时，又有f(x)0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。,非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立:,定理2若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29）的平衡点也是不稳定的。,捕食系统的Volterra方程,问题背景：,意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。在1914~1923年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：,他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.Volterra，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。,Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并建立双房室系统模型。,1、模型建立,大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为r1的指数律增长（Malthus模型），既设：,由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：,对于食饵（Prey）系统：,对于捕食者（Predator）系统：,捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即：,但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到：,方程组（3.31）反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的相互制约关系。下面我们来分析该方程组。,2、模型分析,方程组（3.31）是非线性的，不易直接求解。容易看出，该方程组共有两个平衡点，即：,方程组还有两组平凡解：,和,和,当x1(0)、x2(0)均不为零时，，应有x1(t)>0且x2(t)>0，相应的相轨线应保持在第一象限中。,求（3.31）的相轨线,将两方程相除消去时间t，得：,令,用微积分知识容易证明：,有：,,与的图形见图3-20,易知仅当时（3.32）才有解,当时，轨线退化为平衡点。,当时，轨线为一封闭曲线（图3-21），即周期解。,证明具有周期解。,只需证明：存在两点及，时，方程无解。,由的性质，，而，使得：,。同样根据的性质知，当
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- 西安电子科技大学 数学 建模 讲义 三讲
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