2019年中考数学总复习 提分专练07 以圆为背景的综合计算与证明题练习 湘教版.doc
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提分专练(七) 以圆为背景的综合计算与证明题 |类型1| 圆与切线有关的问题 1.[xx咸宁] 如图T7-1,以△ABC的边AC为直径的☉O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E. (1)求证:DE是☉O的切线; (2)若AB=25,BC=5,求DE的长. 图T7-1 2.[xx徐州] 如图T7-2,AB为☉O的直径,点C在☉O外,∠ABC的平分线与☉O交于点D,∠C=90. (1)CD与☉O有怎样的位置关系?请说明理由. (2)若∠CDB=60,AB=6,求AD的长. 图T7-2 |类型2| 圆与四边形结合的问题 3.[xx宜昌] 如图T7-3,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,ED=EC,以AE为直径的☉O与边CD相切于点D,B点在☉O上,连接OB. (1)求证:DE=OE; (2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD是菱形. 图T7-3 4.[xx镇江] 如图T7-4①,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的☉P与对角线AC交于A,E两点. (1)如图②,当☉P与边CD相切于点F时,求AP的长; (2)不难发现,当☉P与边CD相切时,☉P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,☉P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的长的取值范围 . 图T7-4 |类型3| 圆与三角函数结合的问题 5.[xx贵港] 如图T7-5,已知☉O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD. (1)求证:BD是☉O的切线; (2)若AB=10,cos∠BAC=35,求BD的长及☉O的半径. 图T7-5 6.[xx铜仁] 如图T7-6,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作☉O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是☉O的切线,D为切点,交CB的延长线于点E. (1)求证:DF⊥AC; (2)求tanE的值. 图T7-6 |类型4| 圆与相似三角形结合的问题 7.[xx通辽] 如图T7-7,☉O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交☉O于点D,连接BD,CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. (1)求证:PD是☉O的切线; (2)求证:△ABD∽△DCP; (3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长. 图T7-7 8.[xx苏州] 如图T7-8,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,点D在☉O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE于点F. (1)求证:△DOE∽△ABC; (2)求证:∠ODF=∠BDE; (3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若S1S2=27,求sinA的值. 图T7-8 参考答案 1.解:(1)证明:连接OD, ∵AC是☉O的直径, ∴∠ABC=90, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=45, ∴∠AOD=90. ∵DE∥AC, ∴∠ODE=∠AOD=90, ∴DE是☉O的切线. (2)在Rt△ABC中,AB=25,BC=5, ∴AC=AB2+BC2=5, ∴OD=52. 过点C作CG⊥DE,垂足为G, 则四边形ODGC为正方形, ∴DG=CG=OD=52. ∵DE∥AC, ∴∠CEG=∠ACB, 又∵∠ABC=∠CGE=90, ∴△ABC∽△CGE, ∴CGGE=ABBC,即52GE=255,解得GE=54, ∴DE=DG+GE=154. 2.解:(1)CD是☉O的切线,理由如下: 连接OD,则OD=OB, ∴∠2=∠3. ∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠1, ∴∠1=∠3,∴OD∥BC. ∵∠C=90,∴BC⊥CD, ∴OD⊥CD, ∴CD是☉O的切线. (2)∵∠CDB=60,∠C=90, ∴∠2=∠1=∠3=30, ∴∠AOD=∠2+∠3=30+30=60. ∵AB=6,∴OA=3, ∴AD的长=60180π3=π. 3.证明:(1)如图,连接OD,∵CD是☉O的切线, ∴OD⊥CD, ∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90, 又∵DE=EC,∴∠2=∠1,∴∠3=∠COD, ∴DE=OE. (2)∵OD=OE,DE=OE,∴OD=DE=OE, ∴∠3=∠COD=∠DEO=60,∴∠2=∠1=30. ∵OA=OB=OE,且OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC, 又∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30, ∴△ABO≌△CDE,∴AB=CD. 又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠DAE=12∠DOE=30,∴∠1=∠DAE, ∴CD=AD,∴四边形ABCD是菱形. 4.解:(1)如图,连接PF. 在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=BC2-AB2=102-62=8.设AP=x,则DP=10-x,PF=x.∵☉P与边CD相切于点F,∴PF⊥CD. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD. 又∵AB⊥AC,∴AC⊥CD,∴PF∥AC, ∴△DPF∽△DAC. ∴PFAC=PDAD,即x8=10-x10. 解得x=409,即AP=409. (2)409
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